質問＜３８１９＞２０１１／０７／０５
from=Missions代表
「方程式」

１の虚数の立方根ωを用いて
Ｐ＝ｘ^３－ａ^３－ｂ^３－３ａｂｘを因数分解せよ。また
ｘ^３－１２ｘ－２０＝０をとけ。

★希望★完全解答★

お便り２０１１／７／８
from=phaos

有名な公式 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
 に於いて, y = -a, z = -b と置くと
P = (x - a - b)(x^2 + a^2 + b^2 + (a + b)x - ab)
後ろの方を二次方程式の解の公式を用いて因数分解すると
P = (x - a - b)(x - (ωa +(ω^2)b))(x - ((ω^2)a + ωb))

さて, x^3 - 12x - 20 と P を比較すると
3ab = 12 (⇔ ab = 4 ⇒ a^3・b^3 = 64)
a^3 + b^3 = 20. 
従って, a^3, b^3 は方程式 t^2 - 20t + 64 = 0 の二解で, (t - 4)(t - 16) = 0
 から {a^3, b^3} = {4, 16}
従って, (対称性から) a = 2^(2/3), b = 2・2^(1/3) とすることによって
x = 2^(2/3) + 2・2^(1/3), 2^(2/3)・ω + 2・2^(1/3)・ω^2, 2^(2/3)・ω^2 + 2・2^(1/3)・ω. 
(因みに, これが Cardano の解法そのものである)