質問＜３４２８＞２００６／１０／４
from=マコト
「三角関数の逆関数のグラフ」

f(x)=sinx (-π/2≦x≦π/2)の逆関数について
(1)実数ｘに対して、ｙ=f(sinx)の逆関数のグラフをかけ
という問題なんですが・・・

★完全解答希望★

お便り２００６／１０／１０
from=S~（社会人）

こんにちは。ご無沙汰しています。メールをいただき、また投稿してみます。

（ 答案 ）
（イ）　ｙ＝ｆ（ｓｉｎ（ｘ））＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ））＝ｈ（ｘ）　…　（１）
　とおくと、任意の実数　ａ　について、
ｌｉｍ_[x→a]ｈ（ｘ）＝ｌｉｍ_[t→0]ｈ（ａ＋ｔ）
　＝ｌｉｍ_[t→0]ｓｉｎ（ｓｉｎ（ａ＋ｔ））＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ａ）＝ｈ（ａ）
したがって、全実数域で　ｙ＝ｈ（ｘ）　は連続である。

（ロ）　また、　ｕ＝ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）　とおくと、
　ｙ＝ｆ（ｕ）＝ｓｉｎ（ｕ）　で、　ｄｙ／ｄｕ
　　＝ｄｓｉｎ（ｕ）／ｄｕ＝ｃｏｓ（ｕ）
一方、　ｄｕ／ｄｘ＝ｄｓｉｎ（ｘ）／ｄｕ＝ｃｏｓ（ｘ）
よって、合成関数　ｙ＝ｈ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ））＝ｆ（ｓｉｎ（ｘ））
　　　　　　　　　　＝ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（ｕ）　の導関数について、
ｄｙ／ｄｘ＝ｄｙ／ｄｕ * ｄｕ／ｄｘ＝ｃｏｓ（ｕ） * ｃｏｓ（ｘ）
　　　　　＝ｃｏｓ（ｓｉｎ（ｘ）） * ｃｏｓ（ｘ）
しかして、定義域　－π／２≦ｘ≦π／２　に対して、　－１≦ｓｉｎ（ｘ）≦１　
であるから、　ｘ＝±π／２　のとき　ｄｙ／ｄｘ＝０、　－π／２＜ｘ＜π／２　
のとき　ｄｙ／ｄｘ＞０、　ｈ(－π／２）＝ｓｉｎ（－１）、ｈ(π／２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｓｉｎ（１）　
で、　ｈ（ｘ）　は定義域で単調に増加する。
ゆえに、定義域で　ｙ　と　ｘ　は一対一の対応となり、ここにおいて一つの　
ｙ　の値に対して一つのかつ一つだけの　ｘ　が存在する。
したがって、　ｙ＝ｈ（ｘ）　は定義域　ｓｉｎ（－１）≦ｙ≦ｓｉｎ（１）　において
逆関数　ｘ＝ｇ（ｙ）　が存在する。

（ハ）　ｘ＝ｇ（ｙ）　から、　ｓｉｎ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｇ（ｙ））
ｙ＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ））　から　ｓｉｎ^(-1)（ｙ）＝ｓｉｎ（ｘ）
よって、　ｓｉｎ（ｇ（ｙ））＝ｓｉｎ^(-1)（ｙ）　で　ｇ（ｙ）
　　　　　　　　＝ｓｉｎ^(-1)（ｓｉｎ^(-1)（ｙ））
ここで、　ｇ（ｙ）　を元の関数と同一座標平面上に描くとすると、　
ｙ　（ ｓｉｎ（－１）≦ｙ≦ｓｉｎ（１） ）　を　ｘ　に書き換えて　
ｇ（ｘ）＝ｓｉｎ^(-1)（ｓｉｎ^(-1) 
（ｘ））
しかして、　ｙ＝ｓｉｎ^(-1)（ｓｉｎ^(-1)（ｘ））　
（ ｓｉｎ（－１）≦ｘ≦ｓｉｎ（１） ）　…　（２）　が逆関数の式となる。

（ニ）　上から、　（１）　と　（２）　のグラフは　ｘ　と　ｙ　を入れ替えた関数
のものであることが判るから、　求める関数のグラフは　
ｙ＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ））　（ －π／２≦ｘ≦π／２ ）　のグラフ 
と直線　ｙ＝ｘ　に関して対称のものとなる。　…　（ 答 ）

(注）　ｙ＝ｓｉｎ（ｓｉｎ（ｘ））　（ －π／２≦ｘ≦π／２ ）　のグラフは、
両端点　（－π／２，ｓｉｎ（－１））、（π／２，ｓｉｎ（１））　で傾きが　０、
原点(０，０)で傾きが　１　となる、正弦曲線に似た、斜めの　Ｓ　字型をした
曲線です。これを直線　ｙ＝ｘ　で折り返したものが求めるグラフです。