質問＜３４２９＞２００６／１０／９
from=あい
「合成写像」

以下の問いについて過程を詳しく教えて下さい。
ｆ：Ｘ→Ｙ、ｇ：Ｙ→Ｚに対し、その合成写像をｇ。ｆ：Ｘ→Ｚとする。
①ｇ。ｆが全射ならば、ｇが全射であることを示せ。
②ｇ。ｆが単射ならば、ｆが全射であることを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１０／１４
from=S~（社会人）

こんにちは。あまり自信はないのですが、解答ではなく答案ということで
ご参考にしてください。

（答案）
（１）
　まず、任意の　ｙ∈Ｙ　に対して、或る　ｚ１∈Ｚ　が存在して、
ｚ１not∈{ｇ（ｙ）}　
（ 任意の　ｙ　についての　ｇ（ｙ）　の集合の要素ではない 
 ）
すなわち全射でなかったとする。　…　（ア）
いま、或る　ｘ１∈Ｘ　が存在して　ｆ（ｘ１）＝ｙ１∈Ｙ　とすると、
ｇοｆ　は全射であるから　ｚ１＝（ｇοｆ）（ｘ１）　のとき
ｚ１＝ｇ（ｆ（ｘ１））＝ｇ（ｙ１）∈{ｇ（ｙ）}
これは矛盾である。したがって、　（ア）　が偽となるから題意の通りである。

（２）
　偽である。
（ 反例 ）　ｆ： ｙ＝ｆ（ｘ）＝２^x　（ Ｒ→Ｒ ）、
　　　　　　ｇ： ｚ＝ｇ（ｙ）＝ｌｏｇ（ｙ）　（ Ｒ→Ｒ ）　とおくと、
　　　　　（ｇοｆ）（ｘ）＝ｇ（ｆ（ｘ））＝ｇ（ｙ）
　　　　　　　　　　　　　＝ｌｏｇ（２^x)＝ｘｌｏｇ（２）
　　　　　　は　Ｒ→Ｒ　の単射であるが、
　　　　　　ｆ　は値域が　Ｒ∋ｙ＞０　となり全射ではない。

※ （２）　はあやふやなのですが、他の皆さんのご批判をお願いいたします。