質問＜３４２７＞２００６／１０／３
from=３の男
「３次方程式」

複素数1+iを１つの解ともつ実数係数の３次方程式　x^3+ax^2+bx+c=0・・・①について
(1)方程式①の実数解をaを用いて表せ。
(2)方程式①と２次方程式x^2-bx+3=がただ１つの解を共有する時、定数a,b,cの値を求めよ。

(1)は解と係数の関係から持っていくのでしょうか？
全体として美しい解答に上手にもっていけません。ご指導お願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／１０／４
from=主夫

(1)
x=1+i  より
x-1=i  両辺を２乗して整理すると，
x^2-2x+2=0
つまり，①は(x^2-2x+2)を因数に持つ。
実際に(x^3+ax^2+bx+c)を(x^2-2x+2)で割ってまとめると，
x^3+ax^2+bx+c=(x+2a+2)(x^2-2x+2)+(2a+b+2)x+(c-2a-4)　…②
よって実数解はx=-2a-2

(2)
②において
2a+b+2=0
c-2a-4=0
さらにx^2-bx+3=0がただ１つの解を共有するためには，
複素数解では共役な複素数も同時に解になってしまうため，
x^2-bx+3=0 は x=-2a-2 を解に持つ。
代入すると，
(-2a-2)^2-b(-2a-2)+3=0
以上３つの式から，
(a,b,c)=(1,-4,6),(-3,4,-2)

お便り２００６／１０／７
from=３の男

すいません。いつもお世話になっております。
主夫さんに3427の再質問です。

（１）ですが、実数解をαと置き、共役な複素数1-iをもつので、
解と係数の関係より 

α+(1+i)+(1-i)=-a
α(1+i)+α(1-i)+(1+i)(1-i)=b
α(1+i)(1-i)=-c
として、解くことはできないんでしょうか？

これだと、実数解は-a-2になってしまうのですが？？？

お便り２００６／１０／１２
from=主夫

３の男さん

ごめんなさい。ご指摘どおりです。

拙解答の②の割り算が誤りで，正しくは
x^3+ax^2+bx+c=(x+a+2)(x^2-2x+2)+(2a+b+2)x+(c-2a-4)　…②
となりますので，この解法からも実数解はx=-a-2 です。

ところで，美しい解答をお望みとのことですので，私の主観で判断するならば，
貴方の解答の方がより美しいかと思います。
解と係数の関係に思いつかなかったときの救護策くらいに留めておいていただければと
思います。

（２）についても，
x^2-bx+3=0の式において解と係数の関係から，bをそれぞれαで表し，
x=αとb=2α+2を代入して解く方法が美しいかと思います。