質問＜３３７６＞２００６／９／１２
from=地蔵
「三角関数」

三角形ABCにおいて、tanA.tanB.tanCの値が全て整数であるとき、
それらの値を求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１６
from=平　昭

　こんにちは。ちょっと面白い問題ですね。
　こういう条件を満たす三角形があるとは知りませんでした。
　三角関数の加法定理を習っていないと、解くのはたいへんかもしれませんね。

  三角形ABCにおいて、 ０＜角Ａ＜角Ｂ＜π/2として一般性を失わない。
（π/2以上の角が二つあることはないから。）
　この時、０＜tanA＜tanB
さて、
tanC＝tan（π－A－B)
    ＝－tan（A＋B)
　　＝(tanA＋tanB)/(tanAtanB－1)
 tanA、tanBは正だから、tanA＋tanB＞０、tanAtanB－1≧０であり、
上の式の値が整数になるには、分子≧分母＞０、つまり

tanA＋tanB≧tanAtanB－1＞０、、、★

が必要となる。左側の不等式を変形して

(tanA－１)(tanB－１)≦２

ここで、tanA、tanBは正の整数だから、
左辺の値として可能性があるのは、
(tanA－１)(tanB－１)＝０、、、①
(tanA－１)(tanB－１)＝１、、、②
(tanA－１)(tanB－１)＝２、、、③
の３通り。

①の時、Ａ≦Ｂから、tanA＝１で、
tanC＝(１＋tanB)/(tanB－1)
　　＝１＋　２/(tanB－1）
これが整数になる条件は、tanB＝２、またはtanB＝３
	　
結局①の時、
　　　　tanA＝１、tanB＝２、tanC＝３
または　tanA＝１、tanB＝３、tanC＝２
②は★を満たさず不適。
③の時、tanA＝２、tanB＝３で、この時tanC＝１

 以上まとめると、題意を満たすのは、３つの角のtangentが
それぞれ１、２、３となる時である。