質問＜３３７５＞２００６／９／１２
from=３の男
「三角関数」

座標平面上において、y軸上に点A(0,6)と点B(0,2)をとり、x軸上に点C(c,0)(c＞0)を
とる。∠ACB(0＜θ＜π)とする。
(1)c=3のとき、tanθの値を求めよ。
(2)cがc＞0の範囲で変化するとき、θの最大値を求めよ。
また、このときのcの値を求めよ。

(1)はtanθ=4/7と出ました。

(2)が解りません。
tanθ=(4c)/(c^2+12)と持っていくことが出来たのですが・・・
一応、文系数学です。数Ⅲを使わずに解く方法があれば、教えてください。
なければ、そのまま数Ⅲでの解き方をご教授願います。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１５
from=corn

お便り２００６／９／１６
from=平　昭

　こんにちは。微分すれば確実、と思ったのですが、微分なしでも解けました。
解いてみると、なるほど、予想された答えか、と(^_^;)
(2)だけ解答を書きます。

原点をＯとして、角ＡＣＯ＝α、角ＢＣＯ＝βとする。
この時、θ＝α－βで、tanα＝2/c、tanβ＝6/c (図を描けば明らか)
そして、
tanθ＝tan(α－β)
     ＝{(6/c)－(2/c)})／{１＋(2/c)・(6/c)}
　　 ＝4c/(c^2+12)、、、、、★これは正解でしたね。
　　 ＝４/{c+(12/c}、、、（こう変形すると、微分なしで解けます）

θが最大になるのは、tanθが最大になるときで、
ｃ＞０を考えれば、それはつまり、c+(12/c）が最小になるときである。

そして、c+(12/c）≧２√{ｃ・(12/c）}＝４√３（相加相乗平均より。）
等号はc＝12/c、つまりｃ＝２√３で成立。

この時、tanθ＝１/√３

図を考えれば、０＜θ＜π/2は明らか
（θ≧π/2となる場合、点ＣはＡＢを直径とする円の周上か内部にある必要があるが、
この円は・瓦噺鬚錣蕕覆ぁ砲覆里如△海了
　　　　 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　↑
　　　　　この部分文字化けしていましたので、お知らせ下さい。（管理人談）

θ＝π/6

これが求める最大値である。

なおこの時、α＝π／６、β＝π/３となっています。