質問＜３３５＞２０００／１０／１２
from=あつ
「最大公約数」

Ｐ＝（Ｘ－５）（Ｘ－ａ－１）（Ｘ－ａ2乗ー１）
Ｑ＝Ｘ（Ｘ－ａ－３）（Ｘ＋ａ２乗＋１）とする。
ａは実数である。このとき
ＰとＱの最大公約数がＸの2次式となるように
ａの値を求めよ。

お返事２０００／１０／１３
from=武田

最大公約数が２次式になるから、ＰとＱの中の２つの式が同じとなるので、
その組合せは１８通りあるが、その中には不適当なものもあるので、整理
すると、考えられるのは次の４通りとなる。
（ア）Ｐ（ｘ－ａ－１）とＱ（ｘ）
　　　　　ｘ－ａ－１＝ｘより、ａ＝－１
（イ）Ｐ（ｘ－５）とＱ（ｘ－ａ－３）
　　　　　ｘ－５＝ｘ－ａ－３より、ａ＝２
（ウ）Ｐ（ｘ－ａ2 －１）とＱ（ｘ－ａ－３）
　　　　　ｘ－ａ2 －１＝ｘ－ａ－３より、ａ＝２，－１
（エ）Ｐ（ｘ－ａ－１）とＱ（ｘ＋ａ2 ＋１）
　　　　　ｘ－ａ－１＝ｘ＋ａ2 ＋１より、ａの解なし

したがって、ａの値が２，－１のときだが、
ａ＝２のとき、
　　　　　Ｐ＝（ｘ－５）（ｘ－３）（ｘ－５）
　　　　　Ｑ＝ｘ（ｘ－５）（ｘ＋５）
　　　　　残念ながら、最大公約数は（ｘ－５）の１次式なので不適
ａ＝－１のとき、
　　　　　Ｐ＝（ｘ－５）ｘ（ｘ－２）
　　　　　Ｑ＝ｘ（ｘ－２）（ｘ＋２）
　　　　　最大公約数はｘ（ｘ－２）となり、２次式なので、これが答え

∴ａ＝－１　……（答）