質問＜３３６＞２０００／１０／１２
from=正人
「数列の応用問題」

２直線　ｙ＝ｘ、ｙ＝－ａｘ（ａ＞１）を考え、
ｙ＝ｘ上の点をＰ１、Ｐ２、Ｐ３、・・・・・
およびｙ＝－ａｘ上の点Ｑ１、Ｑ２、Ｑ３・・・・・を次のように作る。
Ｐ１の座標を（１、１）とし、Ｐ１を通ってＸ軸に平行な直線と
ｙ＝－ａｘとの交点をＱ１とし、Ｑ１を通ってＹ軸に平行な直線と
ｙ＝ｘとの交点をＰ２とする。
一般に、ＰＫを通ってＸ軸に平行な直線とｙ＝－ａｘとの交点をＱｋとし、
ＱＫを通ってＹ軸に平行な直線とｙ＝ｘとの交点をＰｋ+１とする。
２Ｍ本の線分の長さの和
Ｓ２Ｍ＝Ｐ１Ｑ１＋Ｑ１Ｐ２＋Ｐ２Ｑ２＋Ｑ２Ｐ３＋・・・・・・・・＋ＱＭＰＭ+１
を求めよ。
できれば今日中に解いていただきたいのです。よろしくお願いします。

お返事２０００／１０／１３
from=武田

メールを見たのが、１３日だったので、遅れてしまいました。


P1Q1=(1+1/a)
Q1P2=(1+1/a)
P2Q2=(1/a+1/a^2)
Q2P3=(1/a+1/a^2)
……
より、足していくと、
S2m=P1Q1+Q1P2+P2Q2+Q2P3+……+QmPm+1
   =(1+1/a)+(1+1/a)+(1/a+1/a^2)+(1/a+1/a^2)+……+(1/a^m-1+1/a^m)
   =2{(1+1/a)+(1/a+1/a^2)+……+(1/a^m-1+1/a^m)}
   =2{-1+2(1+1/a+1/a^2+……+1/a^m-1)+1/a^m}
ａ＞１より、０＜１／ａ＜１
　　１　１　　１　　　　　　１　　　１－１／ａm 
１＋─＋──＋──＋……＋───＝────────
　　ａ　ａ2 　ａ3 　　　　　ａm-1　　　１－１／ａ
したがって、
　　　　　　　　　　１－１／ａm 　　１
Ｓ2m＝２（－１＋２───────＋──　）
　　　　　　　　　　１－１／ａ　　ａm 
　　　　　　　４ａ　　　　１　　　　２
　　＝－２＋　───（１－──　）＋──
　　　　　　　ａ－１　　　ａm 　　　ａm 

　　　　　　　４ａ　　４ａ－２　　１
　　＝－２＋　───－────・──　
　　　　　　　ａ－１　ａ－１　　ａm 

　　　２（１－２ａ）　　１　　２（ａ＋１）
　　＝───────・──　＋──────　……（答）
　　　　ａ－１　　　　ａm 　　　ａ－１

※お便りで指摘されて、再計算したところ囲みの部分が誤っていました。
　下に訂正をのせます。

お便り２０００／１０／１３
from=正人

問題を解いてもらった者です。
本当にありがとうございました！！！
しかしもう１つ聞きたい事があるのです。
僕の通ってる学校では問題集についてる解説は先生が保管しておくのです。
そしてその問題集を全て終えてから解説を配ってくれます。
だから手元には問題集しかないのです。
その問題集の最後に答えだけが載っているのです。
この問題の答えは、
２（ａ＋１）　　　　１
────――｛１－──　｝と載っているのですが、
　ａ－１　　　　　ａm
出していただいた答えをどう変換すれば上のような答えになるのですか？
教えてください。

お返事２０００／１０／１５
from=武田

訂正を載せます。
　　　　　　　４ａ　　　　１　　　　２
　　＝－２＋　───（１－──　）＋──
　　　　　　　ａ－１　　　ａm 　　　ａm 

　　　　　　　４ａ　　２ａ＋２　　１
　　＝－２＋　───－─────・──　
　　　　　　　ａ－１　　ａ－１　　ａm 

　　　２（ａ＋１）　２（ａ＋１）　　１
　　＝──────－──────・──
　　　　ａ－１　　　　ａ－１　　　ａm 

　　　２（ａ＋１）　　　　１
　　＝──────｛１－・──　｝　……（答）
　　　　ａ－１　　　　　　ａm