質問＜３０４＞２０００／８／２３
from=Tetsu
「自然数の組」

ｘ^２ｙ^２－ｘ^３+ｙ^３－ｘｙ＝４９をみたす自然数の組(x,y)を求めよ。
すいません、なんども。

お返事２０００／８／２４
from=武田

ｘ2 ｙ2 －ｘ3 ＋ｙ3 －ｘｙ＝４９
ｘ2 （ｙ2 －ｘ）＋ｙ（ｙ2 －ｘ）＝４９
（ｙ2 －ｘ）（ｘ2 ＋ｙ）＝４９
２数の積で４９となるのは、１×４９と７×７のときだから、
３つの連立ができる。
①｛ｙ2 －ｘ＝１
　｛ｘ2 ＋ｙ＝４９

②｛ｙ2 －ｘ＝４９
　｛ｘ2 ＋ｙ＝１

③｛ｙ2 －ｘ＝７
　｛ｘ2 ＋ｙ＝７

それぞれグラフを書くと、

ｘ、ｙは自然数なので、第１象限の中の交点より、該当するのは
点Ａまたは点Ｅとなるが、
点Ａの可能性について調べてみると、
ｘ＝１のとき、青グラフのｙ＝４８、赤グラフのｙ＝√２
ｘ＝２のとき、青グラフのｙ＝４５、赤グラフのｙ＝√３
ｘ＝３のとき、青グラフのｙ＝４０、赤グラフのｙ＝２
ｘ＝４のとき、青グラフのｙ＝３３、赤グラフのｙ＝√５
ｘ＝５のとき、青グラフのｙ＝２４、赤グラフのｙ＝√６
ｘ＝６のとき、青グラフのｙ＝１３、赤グラフのｙ＝√７
ｘ＝７のとき、青グラフのｙ＝　０、赤グラフのｙ＝２√２
ｘとｙが自然数となる交点はないので、点Ａは不適当
点Ｅの可能性について調べてみると、
ｘ＝１のとき、青グラフのｙ＝　６、赤グラフのｙ＝２√２
ｘ＝２のとき、青グラフのｙ＝　３、赤グラフのｙ＝３
ｘ＝３のとき、青グラフのｙ＝－２、赤グラフのｙ＝√１０したがって、ｘ＝２、ｙ＝３のとき
交点Ｅ（２，３）が自然数の組となる。……（答）

（追伸）
点Ｅ（２，３）を計算で求めてみると、
｛ｙ2 －ｘ＝７
｛ｘ2 ＋ｙ＝７
代入して
（７－ｘ2 ）2 －ｘ＝７
４９－１４ｘ2 ＋ｘ4 －ｘ－７＝０
４次方程式
ｘ4 －１４ｘ2 －ｘ＋４２＝０
組立除法より
１　０　－１４　　－１　　４２　｜２
　　２　　　４　－２０　－４２　￣￣￣
───────────────────
１　２　－１０　－２１　｜　０
（ｘ－２）（ｘ3 ＋２ｘ2 －１０ｘ－２１）＝０
∴ｘ＝２
代入して、ｙ＝３