質問＜２９６０＞２００６／２／１５
from=なおひ
「不等式の問題」

0＜a＜b＜c＜dのとき、次の大小を比較せよ。

a/d , c/b , (a+c)/(b+d) , ac/bd

答えは解るのですが、なぜ

ac/bd　＜　(a+c)/(b+d)

が、成り立つのか解りません。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１６
from=angel

愚直に差を取って比較しましょう。

(a+c)/(b+d) - ac/bd
= ( bd(a+c)-ac(b+d) )/bd(b+d)
= ( abd + bcd - abc -acd )/bd(b+d)
　※後は都合の良くなるように、+の項と-の項を組み合わせる
= ( ab(d-c) + cd(b-a) )/bd(b+d)
＞ 0

後は、
a/d = ab/bd ＜ ac/bd ＜ dc/bd = c/b

c/b - (a+c)/(b+d)
= ( c(b+d) - b(a+c) )/b(b+d)
= ( cd - ab )/b(b+d)
＞ 0

も加味すると、
a/d ＜ ac/bd ＜ (a+c)/(b+d) ＜ c/b …(答え)