質問＜２９３４＞２００６／２／９
from=漸化式か？
「数列」

２組の数列｛an｝,{bn}(n=0,1,2,・・・)を
a_0=1, a_n+1 = -an-√3bn
b_0=1, b_n+1 = √3an-bn
と定める。cn=an+bni(iは虚数単位)とするとき、
①c_n+1をcnで表せ。
②｜cn｜を求めよ。
③ｍを負でない整数とするとき、a0+a1+a2+・・・a_3n+2を求めよ。
という問題がさっぱり分かりません。ご指導下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／９
from=angel

まず、
c[n]=a[n]+b[n]i
より、
a[n]=(c[n]+c[n]~)/2, b[n]=(c[n]~-c[n])i/2
※c[n]の複素共役を c[n]~ で表している

(1)
c[n+1]
=a[n+1]+b[n+1]i
=-a[n]-√3b[n]+(√3a[n]-b[n])i
=a[n](-1+√3i) - b[n](√3+i)
=(c[n]+c[n]~)(-1+√3i)/2 - (c[n]~-c[n])i(√3+i)/2
=c[n](-1+√3i)

(2)
c[0]=1+i より c[0]=√2
c[n+1]=c[n](-1+√3i) より |c[n+1]|=|c[n]||-1+√3i|=2|c[n]|
よって、帰納的に |c[n]|=√2・2^n
実際、
・c[0]=√2
・|c[k]|=√2・2^k ならば |c[k+1]|=2|c[k]|=√2・2^(k+1)
※数学的帰納法の 「n=0の時成立」「n=kの時成立⇒n=k+1の時も成立」を満たす

(3)
c[n+3]=c[n](-1+√3i)^3=8c[n](cos120°+isin120°)^3=8c[n]
c[0]=1+i
c[1]=(1+i)(-1+√3i)=-(1+√3)+(√3-1)i
c[2]=(1+i)(-1+√3i)^2=(1+i)(-2-2√3i)=(2√3-2)-(2√3+2)i

a[n]は、c[n]の実部のため、
a[0]=1, a[1]=-1-√3, a[2]=2√3-2, a[n+3]=8a[n]

よって、
a[0]+a[1]+…+a[3n+2]
= (a[0]+a[1]+a[2])(1+8+8^2+…+8^n)
=(√3-2)(8^(n+1)-1)/7