質問＜２９３３＞２００６／２／９
from=こりん★
「微分」

z=g(f(x,y))とするとき、
∂^2z/∂x^2, ∂^2z/∂x∂y, 、∂^2z/∂y^2
をf,gの２階までの導関数で表しなさい。

これをよろしくおねがいします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１８
from=angel

w=f(x,y) とすると、
　dw = ∂f/∂x・dx + ∂f/∂y・dy　　…全微分

また、z=g(w) に対して、
　dz = g'(w)dw　　…常微分

よって、
　dz = g'(w)・∂f/∂x・dx + g'(w)・∂f/∂y・dy

これより、
　∂z/∂x = g'(w)・∂f/∂x
　∂z/∂y = g'(w)・∂f/∂y

同様に、
　∂g'(w)/∂x = g''(w)・∂f/∂x
　∂g'(w)/∂y = g''(w)・∂f/∂y

以上により
　∂^2z/∂x^2
　= ∂(∂z/∂x)/∂x
　= ∂(g'(w)・∂f/∂x)/∂x
　= ∂g'(w)/∂x・∂f/∂x + g'(w)・∂(∂f/∂x)/∂x　　←積の微分
　= g''(w)・(∂f/∂x)^2 + g'(w)・∂^2f/∂x^2
　= g''(f(x,y))・(∂f(x,y)/∂x)^2 + g'(f(x,y))・∂^2f(x,y)/∂x^2

同様に、
　∂^2z/∂y^2
　= g''(f(x,y))・(∂f(x,y)/∂y)^2 + g'(f(x,y))・∂^2f(x,y)/∂y^2

また、
　∂^2z/∂x∂y
　= ∂(∂z/∂x)/∂y
　= ∂(g'(w)・∂f/∂x)/∂y
　= ∂g'(w)/∂y・∂f/∂x + g'(w)・∂(∂f/∂x)/∂y
　= g''(w)・∂f/∂x・∂f/∂y + g'(w)・∂^2f/∂x∂y
　= g''(f(x,y))・∂f(x,y)/∂x・∂f(x,y)/∂y + g'(f(x,y))・∂^2f(x,y)/∂x∂y