質問＜２９１４＞２００６／２／５
from=篤
「微分」

ｆ（ｘ）＝ｘsin（1/x）　　　（ｘ≠０）
ｆ（ｘ）＝０　　　　　　　　（ｘ＝０）
について

①x=1 におけるf(x)の連続性，微分可能性
②x≠0 におけるf(x)の連続性，微分可能性
をそれぞれ調べよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２８
from=S（社会人）

こんにちは。　②　を先にしますが…

まず、或る　ａ≠０　なる　ａ　について、　
ｘ→ａ　のときの　ｆ（ｘ）　の極限の状況を見ると、　
０＜ｈ　のとき
ｌｉｍ_{ｘ→ａ}ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ_{ｈ→０}ｆ（ａ±ｈ）
＝ｌｉｍ_{ｈ→０}（ａ±ｈ）ｓｉｎ｛１／（ａ±ｈ）｝
＝ａｓｉｎ（１／ａ）
＝ｆ（ａ）
したがって、左右の極限値が存在してかつ一致する。
しかして、いま　ａ　は　ａ≠０　で任意であるから　
ｆ（ｘ）　は　ｘ≠０　で連続である。

次に、微分を試みると　ｘ≠０　のとき
f’(x)=lim_{h→±0}(1/h)[f(x+h)-f(x)]
=lim_{h→±0}(1/h)[(x+h)sin{1/(x+h)}-xsin(1/x)]
=lim_{h→±0}〔[sin{1/(x+h)}]+(x/h)[sin{1/(x+h)}-sin(1/x)]〕
=lim_{h→±0}〔[sin{1/(x+h)}]+(2x/h)cos{(2x+h)/(2x(x+h))}sin{-h/(2x(x+h)}〕
=lim_{h→±0}〔[sin{1/(x+h)}]+{-1/(x+h)}cos{(2x+h)/(2x(x+h))}[{sin(H)}/H]　
( H=h/{2x(x+h)}、h→0　で　H→0 )
=sin(1/x)-(1/x)cos(1/x)

したがって、　ｘ≠０　なる任意の　ｘ　で左側微（分）係数と右側微（分）係数の
両方とも存在して一致する。
したがって、このとき　ｆ（ｘ）　は微分可能である。これで　①　も示された。

※１． ｘ＝０　においては、連続であるが微分可能ではないようです。