質問＜２９１３＞２００６／２／５
from=あみ
「極限」

①lim［ｘ→０］tan＾-1（1/ｘ＾2）
②lim［ｘ→０］（1/ｘ-1/e＾ｘ-1）
③lim［ｘ→π/2］1-sinｘ/（ｘ-π/2）＾2

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２９
from=S（社会人）

こんにちは。（３／２８の内容を訂正してあります。）

①lim［ｘ→０］tan＾-1（1/ｘ＾2）　だけですが…

（ 答案 ）
０＜ｈ　のとき、
ｔａｎ＾（－１）（１／ｘ＾２）＝ｕ
ｔａｎ＾（－１）{１／（ｘ＋ｈ）＾２}＝ｖ　とおくと、

ｔａｎ（ｕ）－ｔａｎ（ｖ）＝（１／ｘ＾２）－｛１／（ｘ＋ｈ）＾２｝
＝｛ｈ（２ｘ＋ｈ）｝／｛（ｘ＾２）（ｘ＋ｈ）＾２｝
＞０　（ ｘ→０ ）
したがって、　ｕ＞ｖ　（ ｘ→０ ）
よって、　ｘ→０　方向で　ｔａｎ＾（－１）（１／ｘ＾２）　は単調に増加する。

一方、或る　ｘ’∈｛ｘ｜－∞＜ｘ＜∞｝　について、
１／ｘ’＾２＝ｔａｎ（ｕ’）→∞　（ ｘ’→０ ）
である。
また、　０＜ｔａｎ（ｕ’）＜∞　から　０＜ｕ’＜π／２　で　ｘ’→０　のとき
ｕ’　は単調増加であるが、いま　ｕ’＜θ＜π／２　なる定数　θ　が存在すると
仮定すると
ｔａｎ（θ）＞ｔａｎ（ｕ’）→∞　（ ｘ’→０ ）
これは矛盾である。

したがって、　θ　は存在しない。
よって、　ｔａｎ^（－１）（１／ｘ’^２）＝ｕ’→π／２　（ ｘ’→０ ）

ここに、　ｘ’　は任意であるから、
ｌｉｍ_｛ｘ→０｝ｔａｎ^（－１）（１／ｘ^２）＝π／２　…　（ 答 ）

お便り２００６／３／２９
from=S（社会人）

こんにちは。

③lim［ｘ→π/2］1-sinｘ/（ｘ-π/2）＾2

（ 答案 ）
ｘ－π／２＝ｔ　とおくと　ｘ→π／２　のとき　ｔ→０
したがって、
与式＝ｌｉｍ_{ｔ→０}[１－ｓｉｎ{ｔ＋(π／２)}]／ｔ^２
＝ｌｉｍ_{ｔ→０}[１－{ｓｉｎ(ｔ)ｃｏｓ(π／２)＋ｃｏｓ(ｔ)ｓｉｎ(π／２)}]／ｔ^２
＝ｌｉｍ_{ｔ→０}[１－{ｃｏｓ(ｔ)}]／ｔ^２
＝ｌｉｍ_{ｔ→０}[１－{１－２（ｓｉｎ(ｔ／２)）＾２}]／ｔ^２
＝ｌｉｍ_{ｔ→０}[２{ｓｉｎ(ｔ／２)}＾２]／ｔ^２
＝ｌｉｍ_{ｔ→０}（１／２）[{ｓｉｎ（ｔ／２）}／（ｔ／２）]＾２
＝１／２　…　（ 答 ）

のようにして見ました。