質問＜２９１０＞２００６／２／５
from=nao
「整数問題」

x,y,z∈Nがx^2+y^2=z^2をみたすとき(1),(2)を示せ。
(1)　x,y,zのうち少なくとも１つは偶数である。
(2)　x,y,zのうち少なくとも１つは５の倍数である。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／７
from=UnderBird

(1)　x,y,zすべて奇数であると仮定する。
　　x=2p+1,y=2q+1,z=2r+1 (p,q,r=0,1,2,3,･･･)で
　　x^2=4p^2+4p+1=2(2p^2+2p)+1より、x^2は奇数
　　同様にy^2,z^2も奇数となり、
　　奇数+奇数=奇数　となり矛盾。よって
　　x,y,zのうち少なくとも１つは偶数である。

(2)　x,y,zのどれも５の倍数でないとする。
　　x=5p+a,y=5q+b,z=5r+c とおくと
　　a,b,cは1,2,3,4のいずれかであり、
　　a^2,b^2,c^2は1,4,4,1、すなわち1か4となる。
　　よって、(1か4)+(1か4)は5で割った余りが2か0か3
　　だから、矛盾。よって、
　　x,y,zのうち少なくとも１つは５の倍数である。

(2)は、mod 5で説明するとすっきりしますね。
悪しからず