質問

a=(a1,a2),b=(b1,b2)　　(a1,a2,b1,b2∈R）とするとき
(1)　a,bが一次独立となるための必要十分条件を求めよ。
(2)　a,bが一次独立であるとき任意のx=(x1,x2)
　　(x1,x2∈R)はa,bの１次結合で一意的に表されることを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／９
from=UnderBird

(1)a,bは0ベクトルでなく、aとbは平行でない
(2)xが2通りで表せたとする。
x=pa+qb=p'a+q'b
すると、
(p-p')a+(q-q')b=0より
p-p'=0,q-q'=0 (∵a,bが一次独立)
すなわち、p=p' , q=q'

お便り２００６／５／４
from=maro

質問＜２９１１＞と同じなのですが
a=(a1,a2),b=(b1,b2)　　(a1,a2,b1,b2∈R）とするとき
(1)　a,bが一次独立となるための必要十分条件を求めよ。
の解答が「a,bは0ベクトルでなく、aとbは平行でない」というのは理解できたの
ですが、a1,a2,b1,b2に関わる式で書くことが思いつきません
何方か丁寧に教えてください

お便り２００６／５／８
from=UnderBird

 a=(a1,a2),b=(b1,b2)　　(a1,a2,b1,b2∈R）とする。
「a,bは0ベクトルでなく、aとbは平行でない」

aとbは平行でないを考える代わりに、aとbは平行であるを考える。
a=kbとなる実数kが存在すること
よって、(a1,a2)=k(b1,b1)
a1=k*b1 , a2=k*b2
第1式にb2、第2式にa1を掛けて辺々引くと
a1*b2-a2*b1=0を得る。

以上から、a1^2+a2^2≠0かつb1^2+b2≠0
　　　　　かつa1*b2-a2*b1≠0

お便り２００６／８／１７
from=maro

UnderBirdさん、ありがとうございました
(2)　a,bが一次独立であるとき任意のx=(x1,x2)
　　(x1,x2∈R)はa,bの１次結合で一意的に表されることを示せ。
の解答で
(2)xが2通りで表せたとする。
x=pa+qb=p'a+q'b
すると、
(p-p')a+(q-q')b=0より
p-p'=0,q-q'=0 (∵a,bが一次独立)
すなわち、p=p' , q=q'

とありますが、何となくは理解できるのですがイマイチわからない箇所も
あるので、申し訳ありませんが詳しく解説をいれてお願いしたいのですが

お便り２００６／８／１９
from=UnderBird

a=(a1,a2),b=(b1,b2)　　(a1,a2,b1,b2∈R）とするとき
a,bが一次独立となるための必要十分条件
⇔「a,bは0ベクトルでなく、aとbは平行でない」
⇔a1^2+a2^2≠0 かつ b1^2+b2^2≠0 かつ a1*b2-a2*b1≠0でした。
これは、a，bとも零ベクトルでなく、
aはbの実数倍ではない。すなわちa=kbとなる実数kは存在しない。
（２つのベクトルは平行でない）
ということでした。
ここで、次の命題を証明します。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ａ,bが一次独立（もちろんどちらも零ベクトルでない）なベクトルである
ならば、
p*a+q*b=0のとき(ただしp,qは実数)、p=q=0である。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
「証明」背理法で示す
p,qの少なくとも１つは零でないと仮定する。仮にp≠0とすれば
p*a+q*b=0よりa=(q/p)bとなるが、
これはベクトルａがベクトルbの実数倍であることを示す。
（すなわちaとbが平行）
　　　　よって、a,bが一次独立であることに矛盾する。
　　　　　同様にq≠の場合も同様である。
　　　　以上のことから、命題は証明された。

そのような命題を利用したので
＞(p-p')a+(q-q')b=0より
＞p-p'=0,q-q'=0 (∵a,bが一次独立)
となっています。また、前回の全体の証明の流れとして
一意的にあらわされることをいうのに、敢えて二通りであらわされたと仮定し、
結局その二通りとおいたものがまったく同じであった。よって一意的である。
というものです。いかがですか？

お便り２００７／１０／１１
from=maro

a=(a1,a2),b=(b1,b2)　　(a1,a2,b1,b2∈R）とするとき
　(1)　a,bが一次独立となるための必要十分条件を求めよ。
　にて
　「a=kbとなる実数kが存在する」…※
 「a1b2=a2b1」…※’
　※⇒※’の証明はできましたが、※’⇒※ができません
　どのようにすればよろしいのでしょうか

お便り２００８／２／２８
from=cqzypx