質問＜２９００＞２００６／２／２
from=dk
「離散数学」

nが2以上の正の整数であり、Aは定数である場合

1/(n+1)+1/(n+2)...+1/2n-A＞0

の式でAはどのくらいの大きさになるか。

★希望★完全解答★

お返事２００６／２／１２
from=武田

ｘ＞０において、連続関数ｆ（ｘ）が減少関数ならば、
∫(1,n+1)ｆ（ｘ）ｄｘ≦ｆ（１）＋ｆ（２）＋………＋ｆ（ｎ）

いま、ｆ（ｘ）＝１／（１＋ｘ）とすると、
∫(n,2n)１／（１＋ｘ）ｄｘ≦1/(n+1)+1/(n+2)...+1/2n

左辺＝∫(n,2n)１／（１＋ｘ）ｄｘ
　　　　　　　　　　　2n
　　＝［log（１＋ｘ）］
　　　　　　　　　　　n
　　＝log（２ｎ＋１）－log（ｎ＋１）

　　　　　　２ｎ＋１
　　＝log　―――――
　　　　　　 ｎ＋１

ｎが２以上の正の整数より、ｎ→∞とすると、

　　　　　　　２ｎ＋１　　　　　　２＋（１／ｎ）
Ａ＝lim　log　――――＝lim　log　―――――――＝log２……（答）
　　n→∞　　　ｎ＋１　n→∞　　　１＋（１／ｎ）