質問＜２８２８＞２００６／１／７
from=積分
「積分利用の面積」

2x^2-2xy+y^2=1の面積を求める問題で、
2x^2-2xy+y^2≦1と考え、yについて解の公式にて解いて、
y=x±√(1-x^2)を出してみました。
積分範囲をx±√(1-x^2)=0とおいて、
x軸の上側y=x＋√(1-x^2)とy=x－√(1-x^2)の積分を行いましたが、
どうがんばっても参考書の答え　π（パイ）になりません。
そして、参考書では積分の範囲が－１～＋１になっていますが、
意味不明なのです。だれか教えてください。

★希望★完全解答★

お返事２００６／１／８
from=武田

2x^2-2xy+y^2=1より、
ｘ^2＋ｘ^2－２ｘｙ＋ｙ^2＝１
ｘ^2＋（ｘ－ｙ）^2＝１
（ｘ－ｙ）^2＝１－ｘ^2
ｘ－ｙ＝±√（１－ｘ^2）
ｙ＝ｘ±√（１－ｘ^2）
したがって、赤線ｙ＝ｘより上のグラフがｙ＝ｘ＋√（１－ｘ^2）
下のグラフがｙ＝ｘ－√（１－ｘ^2）となる。



交点のｘ座標は、連立を解いて（解かなくても図より明らか）
ｘ＋√（１－ｘ^2）＝ｘ－√（１－ｘ^2）
２√（１－ｘ^2）＝０
１－ｘ^2＝０
∴ｘ＝±１

したがって、面積は２つのグラフに囲まれる面積の公式より、
　　　１
Ｓ＝∫　［｛ｘ＋√（１－ｘ^2）｝－｛ｘ－√（１－ｘ^2）｝］ｄｘ
　　　-1

　　　１　　　　　　　　　　　　　　　１
　＝∫　｛２√（１－ｘ^2）｝ｄｘ＝２∫　√（１－ｘ^2）ｄｘ
　　　-1　　　　　　　　　　　　　　　-1
置換積分より
ｘ＝sinθとおくと、√（１－ｘ^2）＝cosθ
ｄｘ＝cosθｄθ
ｘ｜－１　→　１
――――――――――
θ｜-π/2 →　π/2　　　　　　　　　　　　半角の公式より
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　 　π/2　　　　　　　　　　π/2　　１＋cos２θ
Ｓ＝２∫　cosθ・cosθｄθ＝２∫　　　――――――ｄθ
　　　-π/2　　　　　　　　　　-π/2　　　　２

　　　　１　　１　sin２θ　π/2　　　　　　sin２θ　π/2
　＝２［―θ＋―・――――］　　　＝［θ＋――――　］
　　　　２　　２　　２　　-π/2　　　　　　　２　　-π/2

　　　π　sinπ　　　　 π　sin(-π)
　＝（―＋―――）－｛－―＋――――　｝
　　　２　　２　　　　　２　　２

　＝π……（答）