質問＜２８２７＞２００６／１／７
from=yasu
「Σ」

(1)①
 n
∑k=1/2n(n+1)を示せ
k=1

　 ②
k^3-(k-1)^3=3k^2+1を利用して
n
∑k^2=1/6n(n+1)(2n+1)を示せ.
k=1

宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／９
from=wakky

①も②も公式として覚えておいた方がいいです。

（１）－①
 n
∑k=Snとおきます。
k=1
Sn=1+2+3+........+n・・・①
順序を逆にして
Sn=n+(n-1)+....+2+1・・・②
①＋②より
2Sn=(n+1)+(n+1)+.......+(n+1) ※(n+1)をn回加えたもの
=n(n+1)
∴　Sn=(1/2)n(n+1)

（別解）
②の問題がヒントになります。
k^2-(k-1)^2=2k-1を利用して
この両辺にk=1,2,3...,nを代入していくと
1^2-0^2=2・1-1
2^2-1^2=2・2-1
3^2-2^2=2・3-1
・・・・・・・
n^2-(n-)^2=2・n-1
辺々を加えると
n^2=2Sn-n
∴ Sn=(1/2)n(n+1)

②
k^3-(k-1)^3=3k^2+1は
k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1の誤りですね。
①の別解と同じ要領で
n
∑k^2=Tnとおいて
k=1
k=1,2,3,...,nを代入していくと
1^3-0^3=3・1^2-3・1+1
2^3-1^3=3・2^2-3・2+1
3^3-2^3=3・3^2-3・3+1
・・・・・・・・・・・
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
辺々を加えて
n^3=3Tn-(3/2)n(n+1)+n
これをTnについて解いて展開・整理・因数分解して
Tn=(1/6)n(n+1)(2n+1)