質問＜２７８７＞２００５／１２／２６
from=のらいぬ
「集合」

自然数を要素とする集合Aに対して、Aに属する偶数ｎをそれぞれｎ/2で置き換えて
得られる集合をA’とかく。
Aに偶数がひとつも含まれなければA＝A’とする。
例えばA＝｛３，４，６，７，８｝の時、A’＝｛２，３，４｝である。
自然数を集合とするA、Bについて次の問いに答えよ。
（１）（A∩B）’⊂A’∩B’を示せ。
（２）A＝｛２，３，４，７｝で、７はBに含まれず、
　　　かつ１４∈Bであるとき、（A∩B）’≠A’∩B’を示せ。
（３）Aが空集合でなく、しかも奇数をひとつも含まないとき、A≠A’である
　　　ことを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／５
from=風あざみ

自然数を要素とする集合Aに対して、Aに属する偶数ｎをそれぞれｎ/2で置き
換える演算をfと置く

要するに、nが偶数のときf(n)=n/2、
nが奇数のときf(n)=n

(1)
集合(A∩B)'の元xを任意にとる
x=f(y)となるような、A∩Bの元yが必ず存在する。

f(y)=yのとき
(yが奇数のとき)
x=y=f(y)∈A'、x=y=f(y)∈B'

f(y)=y/2のとき
(yが偶数のとき)
x=y/2=f(y)∈A'、x=y/2=f(y)∈B'

いずれにしても、x∈A'∩B'となる。
よって、(A∩B)'⊂A'∩B'が示された。

(2)
7はBの元ではないので
A∩B⊂{2,3,4}
f(2)=1、f(3)=3、f(4)=2だから
(A∩B)'⊂{1,2,3}
よって7は(A∩B)'の元ではない。

14はBの元だからf(14)=7∈B'
f(7)=7だからf(7)=7∈A'
よって7∈A'∩B'

したがって7はA'∩B'の元だが、(A∩B)'の元ではない。
よって、(A∩B)'≠A'∩B'が示された。

(3)
A＝A'と仮定する
Aの中で最小の元zをとる
zは偶数だから
f(z)=z/2∈A'＝A
よってz/2もAの要素となるが、z/2＜zだから
zがAの最小の元であることに反する。
よってA≠A'が示された。

z/2＜z

お便り２００６／１／１１
from=のらいぬ

「例えばA＝｛３，４，６，７，８｝の時、A’＝｛２，３，４,７｝である。」、
「（２）A’＝｛２，３，４，７｝で、７はBに含まれず、かつ１４∈Bであるとき、
（A∩B）’≠A’∩B’を示せ。」でした。
重ね重ねすいません。

お便り２００６／１／１６
from=C.A.

この問題はもう解決済ですね。