質問

A(1)=4、A(n+1)={A(n)}^2-2
で定義される数列の一般項を求めなさい。

分かるかた、お願いします。

★希望★完全解答★

お返事２００６／１／１
from=武田

A(n+1)={A(n)}^2＋ａ{A(n)}＋ｂの形をしたものは、数列の積の答えになる。
＜１６８６＞参照
A(n+1)=ａ{A(n)}^2の形のものは、対数で解くことができる。
＜２３１３＞参照

A(1)=4、A(n+1)={A(n)}^2-2
limA(n+1)=limA(n)＝αとおくと、
α＝α^2－２
α^2－α－２＝０
（α－２）（α＋１）＝０
∴α＝２，－１
どちらのαでもよいので、α＝２とすると、
A(n+1)－２＝{A(n)}^2-2－２
　　　　　＝{A(n)}^2－４
　　　　　＝{A(n)}^2－２^2
　　　　　＝{A(n)－２}{A(n)＋２}
　　　　　　^^^^^^^^^^
　　　　　＝{A(n-1)－２}{A(n-1)＋２}{A(n)＋２}
　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　＝………………
　　　　　＝{A(1)－２}{A(1)＋２}{A(2)＋２}………{A(n-1)＋２}{A(n)＋２}
　　　　　　　　　　n
　　　　　＝{４－２}Π{A(k)＋２}
　　　　　　　　　　k=1

したがって、　　n-1
Ａ（ｎ）＝２＋２Π｛Ａ（ｋ）＋２｝……（答）
　　　　　　　　k=1

お便り２００６／１／２
from=wakky

ちょっと生意気なことを言わせて頂きます・・・
この問題の求めるところはＡ（ｎ）の一般項です。
私も武田先生の回答のところまではいきつきました。
しかし、それでは一般項を求めたことになりません。
Ａ（ｎ）をｎに関する式にしなければなりません。
したがって、
n-1
２Π｛Ａ（ｋ）＋２｝
k=1
の部分のＡ（ｋ）が結局は不明のままですから
一般項を示したことにはなりません。
実は、この問題・・・
ずっと悩んでいます。
もし、漸化式中の－２がなかったら
いとも簡単です・・・
この数列の一般項を求めるのは容易ではない・・・
と、思ってるのは私だけでしょうか？

お便り２００６／１／４
from=風あざみ

少々天下りですが、A(n)の一般項が求まりました。
　　　(1+√3)^(2^n)+(1-√3)^(2^n)
A(n)=―――――――――――――――
　　　　　　2^{2^(n-1)}

n=1のとき
A(1)={(1+√3)^2+(1-√3)^2}/2^(2^0)=(4+2√3+4-2√3)/2=8/2=4
となります。

n=kのとき
A(k)={(1+√3)^(2^k)+(1-√3)^(2^k)}/(2^{2^(k-1)})
となると仮定します。
A(k+1)={A(k)}^2-2

ここで、{A(k)}^2を計算しておきます。
{A(k)}^2=[{(1+√3)^(2^k)+(1-√3)^(2^k)}]^2/[2^{2^(k-1)}]^2ですから。

(分子)=[{(1+√3)^(2^k)+(1-√3)^(2^k)}]^2
　　　=(1+√3)^{2^(k+1)+(1-√3)^{2^(k+1)}+2{(1+√3)(1-√3)}^(2^k)
　　　=(1+√3)^{2^(k+1)+(1-√3)^{2^(k+1)}+2*(-2)^(2^k)
　　　=(1+√3)^{2^(k+1)+(1-√3)^{2^(k+1)}+2*2^(2^k)

(分母)=[2^{2^(k-1)}]^2
　　　=2^{2^(k-1)}*2^{2^(k-1)}
　　　=2^{2^(k-1)+2^(k-1)}
　　　=2^(2^k)

したがって
{A(k)}^2-2=[(1+√3)^{2^(k+1)+(1-√3)^{2^(k+1)}+2*2^(2^k)}/{2^(2^k)]-2
　　　　　=[(1+√3)^{2^(k+1)+(1-√3)^{2^(k+1)}]/{2^(2^k)}+2-2
　　　　　=[(1+√3)^{2^(k+1)+(1-√3)^{2^(k+1)}]/{2^(2^k)}
　　　　　=A(k+1)

よってn=k+1のときも
A(n)={(1+√3)^(2^n)+(1-√3)^(2^n)}/(2^{2^(n-1)})
となることがいえました。

したがって数学的帰納法より任意の自然数nに対して

A(n)={(1+√3)^(2^n)+(1-√3)^(2^n)}/(2^{2^(n-1)})
であることが示されました。

お便り２００６／１／４
from=武田

風あざみさんありがとうございました。一般項が解けてホッとしましたが、
上の「天下りだが」と書いてあるところの「天下りの仕方」を教えてもらえ
ないでしょうか？

お便り２００６／５／９
from=UnderBird

ところで、質問＜２７８６＞での風あざみさんの
天下り的ですが・・・の漸化式の「天下りの仕方」の返答はあったのでしょうか？
なかなかこの漸化式は特別なものだと感じたものですから。
もしよろしければお返事いただけるとありがたいです。