質問＜２７８８＞２００５／１２／２７
from=美智子
「行列」

GL(n,C)に値をとる微分可能関数U(t)に対して
(U(t)^-1)'=-(U(t))^-1*(U(t))'*(U(t))^-1をしめせ。

またこれを用いて次の補題を示せ
補題
U(t),V(t)が共に方程式(U(t))'=A(t)*U(t)
(V(t))'=A(t)*V(t)をみたしdet(U(t))≠0,det(V(t))≠0なら、
あるW∈GL(n,C)に対しU(t)=V(t)*W

の問題がまったくわかりません。
詳しすぎるくらいの完全解答をお願いできないでしょうか？
申し訳ありません。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１８
from=angel

※Ｘの逆行列を inv(Ｘ) と表記します

行列Ａ(t), Ｂ(t) に関して、積の微分を考えると、
　(Ａ(t)・Ｂ(t))' = Ａ'(t)・Ｂ(t) + Ａ(t)・Ｂ'(t)

では、等式 Ｕ(t)・inv(Ｕ(t)) = Ｅ　(単位行列) の両辺を微分すると、
　Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t)) + Ｕ(t)・inv(Ｕ(t))' = Ｏ　(零行列)
　⇔ Ｕ(t)・inv(Ｕ(t))' = - Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t))
　⇔ inv(Ｕ(t))・Ｕ(t)・inv(Ｕ(t))' = - inv(Ｕ(t))・Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t))
　⇔ inv(Ｕ(t))' = - inv(Ｕ(t))・Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t))

補題に関して
　　「ある行列Ｗが存在して、Ｕ(t)=Ｖ(t)・Ｗ」
　を、
　　「ある行列Ｗが存在して、inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) = Ｗ」
　更に、Ｗは t に依存しない行列であることから
　　「( inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) )' = Ｏ　(零行列)」
　と考える。

証明は逆順で書いていく。
( inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) )'
= inv(Ｖ(t))'・Ｕ(t) + inv(Ｖ(t))・Ｕ'(t)
= - inv(Ｖ(t))・Ｖ'(t)・inv(Ｖ(t))・Ｕ(t)
　　+ inv(Ｖ(t))・Ｕ'(t)
= - inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｖ(t)・inv(Ｖ(t))・Ｕ(t)
　　+ inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｕ(t)
= - inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｕ(t) + inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｕ(t)
= Ｏ

よって、tに依存しないある行列Ｗが存在して、inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) = Ｗ
よって、そのＷに関して、Ｕ(t)=Ｖ(t)・Ｗ