質問＜２７８０＞２００５／１２／２３
from=ひろ
「行列の指数関数」

A∈M(n,C)ならば
１、λがAの固有値ならe^λはe^Aの固有値である
２、det(e^A)=e^tr(A)
の２問を示すことが出来ません。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／２４
from=juin

A∈M(n,C)に対して、適当なP∈GL(n,C),
上三角行列B∈M(n,C)を使い、A=P^(-1)BPと表せる。
exp(A)=exp(P^(-1)BP)=P^(-1)exp(B)P
exp(B)は上三角行列で、固有値exp(λ)を持つから、
exp(A)は、固有値exp(λ)を持つ。
det(exp(A))=det(exp(P^(-1)BP))=det(P^(-1)exp(B)P)
=det(exp(B))=exp(λ1)*...*exp(λn)
=exp(λ1+...+λn)=exp(tr(A))