質問＜２７２７＞２００５／１１／２７
from=ドリー
「関数問題」

０≦x≦１のとき、
ｆ（x）＝ｘ＾２－ａｘ＋ａ／２（ａ＞０）の最小値をｍとする。
①ｍをａの式で表せ。
②ｍを最大にするａの値、及びｍの最大値を求めよ。

という問題が分かりません。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／３０
from=wakky

①
平方完成して
ｆ（ｘ）＝｛ｘ－（ａ／２）｝^2－（ａ^2／４）＋（ａ／２）
放物線ｙ＝ｆ（ｘ）の頂点の座標は（ａ／２，－（ａ^2／４）＋（ａ／２））
で、ｘ^2の係数が１だから放物線は下に凸
あとはａの範囲で場合分けして
（１）
０≦（ａ／２）≦１すなわち０≦ａ≦２のとき
頂点のｙ座標が最小値となるから
ｍ＝－（ａ^2／４）＋（ａ／２）
（２）
ａ／２＜０すなわちａ＜０のとき
ｘ＝０でｆ（ｘ）は最小となるが、ａ＞０に反する。
（３）
ａ／２＞１すなわちａ＞２のとき
ｘ＝１でｆ（ｘ）は最小となるから
ｍ＝ｆ（１）＝１－（ａ／２）
以上から
０≦ａ≦２のときｍ＝－（ａ^2／４）＋（ａ／２）
ａ＞２のときｍ＝１－（ａ／２）

②
０≦ａ≦２のときｍを平方完成して
ｍ＝（－１／４）（ａ－１）^2＋（１／４）
よってａ＝１のとき最大値１／４
ａ＞２のときはｍ＝１－（ａ／２）＜０
以上から
ａ＝１のときｍの最大値は１／４