質問＜２７２２＞２００５／１１／２６
from=フリーダム
「整数問題」

X^2＋Y^2＝１７６６６
を満たす自然数X、Yをすべて求めよ。

という問題なんですが、
イロイロためしたのですがわからないので教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２８
from=けんさん

この問題に関しては次のように考えてみました。
１７６６６＝１１＾２×１４６なので
１７６６６＝１１＾２×（ｍ＾２＋ｎ＾２）
の形になれば、ｘ＾２＋ｙ＾２の形にできます。
ｍ＾２＋ｎ＾２＝１４６としてかんがえると
ｍ＝５、ｎ＝１１よって
ｘ＝５５、ｙ＝１２１・・・（答）
もうすこしエレガントな解答を私も知りたいです。

お便り２００５／１１／２８
from=Fuga Hoge

(x + iy) * (x - iy) =  17666 = 2 * 73 * 11 * 11
                    = (1 + i) * (1 - i) * (8 + 3i) * (8 - 3i) * 11 * 11.
x + iy = (1 + i) * (8 + 3i) * 11 = 55 + 121i
または
x + iy = (1 + i) * (8 - 3i) * 11 = 121 + 55i
したがって
(x, y) = (55, 121) または (121, 55).

Z[i] の Ideal の言葉で言えば、(2) が分岐、(73) が完全分解、(11) が素。