質問＜２７１５＞２００５／１１／２５
from=みい
「三角比」

半径２の円周上に３点Ａ、Ｂ、Ｃがあって、
弧ＡＢ：弧ＢＣ：弧ＣＡ＝３：４：５のとき、
△ＡＢＣの面積の求め方を教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２９
from=wakky

原点を中心とする半径２の円Ｏの円周上の点（２，０）を点Ａとする。
このようにしても、一般性は失われない。
２点Ｂ，Ｃは点Ａから見て反時計回りに円Ｏ上にこの順にあるとする。
弧ＡＢ：弧ＢＣ：弧ＣＡ＝３：４：５　だから
∠ＡＯＢ：∠ＢＯＣ：∠ＣＯＡ＝３：４：５
∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＡ＝３６０°より
∠ＡＯＢ＝３６０°×（３／１２）＝９０°
同様にして、∠ＢＯＣ＝１２０°、∠ＣＯＡ＝１５０°
よって点Ｂ，Ｃの座標はそれぞれ
Ｂ（２ｃｏｓ９０°，２ｓｉｎ９０°）＝（０，２）
Ｃ（２ｃｏｓ２１０°，２ｓｉｎ２１０°）＝（－√３，－１）
したがって
｜ＡＢ｜＝２√２，｜ＡＣ｜＝√２＋√６
また、△ＡＯＢと△ＣＯＡはともに二等辺三角形だから
∠ＯＡＢ＝４５°，∠ＯＡＣ＝１５°
よって　∠ＣＡＢ＝６０°
以上から、△ＡＢＣの面積は
（１／２）｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜ｓｉｎ∠ＣＡＢ
＝（１／２）・２√２・（√２＋√６）
＝３＋√３・・・（答）