質問＜２７１４＞２００５／１１／２５
放物線y=x^3+x^2と直線y=(a^2)(x+1)に囲まれた二つの図形の面積が 等しくなる時のaを求めなさい。(0＜a＜1) という問題です。 交点の座標は、方程式を解いてｘ＝-1,-a,aとなる事が分かります。 そこで、解答では積分してゴチャゴチャやると、 a=1/3となると書いてあります。 でも、そこで思ったんですが、この-aが三時関数の対象点となるはず なので、(a-1)/2=-a を解いてa=1/3とも解けそうな気がします。 このｘ＝-aの点が対象点である事が証明できる方、または、この考え方 が間違っているという反例が思い浮かぶ方、いましたら、教えていただ ければうれしいです。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り２００５／１１／２８
from=wakky
おっしゃるとおり 直線②との交点のｘ座標はｘ＝－１，－ａ，ａです。 ０＜ａ＜１なので まず、－１＜－ａ＜ａですね ＴＫさんの考えでは、数直線上で ｘ＝－ａがｘ＝－１とｘ＝ａの中点であるということになります。 しかし ａが大きくなると－ａは小さくなる 数直線で考えると ａが右に動く（１に近づく）と －ａは左に動く（－１に近づく） だから常に中点だということにはなりません。 なんとなく図形の対象性（らしきもの）から－ａが中点ならば 面積が等しくなりそうだ・・・ という気持はわかりますが 問題は、「面積が等しくなるａは？」ですから それでは回答にはなりませんね。 ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｘ^2 ｇ（ｘ）＝ａ^2（ｘ＋１） とおくと ｆ（ｘ）のｘ＝－１における微分係数は１なので ｘ＝－１における接線の傾きは１ しかし、０＜ａ^2＜１なのでｇ（ｘ）が接することはありません。 また、傾きが０になることもありません。 だから、ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）は必ず３点で交わります。 ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）を－１から－ａまで定積分した値と ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）を－ａからａまで定積分した値 この２つの値が等しくなるようなａを求めることになると思います。 やってみると （ａ＋１）^3｛ａ－（１／３）｝＝０となって ０＜ａ＜１から ａ＝１／３となりました。 ちなみに対象性は この３次曲線をｘ軸方向に１／３ ｙ軸方向に（１／３）^3＋（１／３）^2＝４／２７ だけ平行移動すると ｙ＝ｘ^3－（ｘ／３）となって ｙ＝ｈ（ｘ）とすると ｈ（－ｘ）＝－ｈ（ｘ）なので 確かに原点に関して対象になります
お便り２００５／１１／２８
from=juin
y=x^3+x^2-a^2(x+1)=(x+1)(x+a)(x-a) y'=3x^2+2x+a^2 x=α,βのとき、極値をとるとすると、 解と係数の関係より、α+β=-2/3となる。 だから、x=-1/3の時のyの値をy0とすると、 (-1/3,y0)に関して、３次関数のグラフが点対称になる。 y0=0となるとすると、(-1/3)^3+(-1/3)^2-a^2(-1/3+1)=0 a=1/3となる。このとき、[-1,-1/3]でのグラフと、 [-1/3,1/3]でのグラフは合同だから、面積は等しい。 だから、a=1/3は１つの答である。
お便り２００５／１１／３０
from=ＴＫ
色々と教えていただき、ありがとうございました。 色々、学校の数学の先生と考えてみたところ、答えは対象点以外にないことが 一般的に三次関数と、動く直線に対して存在しない事がわかりました。 三次関数は一般的に、a(x-p)^3+b(x-p)+qと書けるので、必ず対象点を持ちます。 -1から-aまでの囲まれた面積をS1,-aからaまでの囲まれた面積をS2とします。 この場合の対象点はｘ＝-1/3上にあります。 （これは、(a-1)/2=-aを解けば出てきます） この点を通る場合のS1=S2=Sとおきます。 もし、-a＜-1/3ならば、グラフを書くと、S1＜S＜S2である事が分かるので、不適。 -a＞-1/3とすると同様に、S1＞S＞S2となるので、不適。 よって、-a=-1/3で、a=1/3となる。 という事でよさそうです。 投稿ありがとうございました。 おかげさまで問題が解決しました。