質問

２点Ａ(－２、１)，Ｂ(４、３)に対して､
∠ＡＰＢ＝９０°を満たす点Ｐの奇跡を求めよ。
どなたかよろしくお願いします。。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２９
from=wakky

回答その１

△Ａ０Ｂは辺ＡＢを斜辺とする直角三角形になります。
ＡＢ^2＝（４＋２）^2＋（３－１）^2＝４０だから
三平方の定理より
ＰＡ^2＋ＰＢ^2＝ＡＢ^2
点Ｐの座標を（ｘ，ｙ）とすると
（ｘ＋２）^2＋（ｙ－１）^2＋（ｘ－４）^2＋（ｙ－３）^2＝４０
これを整理して
（ｘ－１）^2＋（ｙ－２）^2＝１０・・・①
したがって、求める軌跡は
点（１，２）を中心とした半径√１０の円となります。
ところで
ＡＢ^2＝４０だからＡＢ＝２√１０
軌跡の円の半径は√１０なので
ＡＢの長さはちょうどその２倍
つまり、２点Ａ，Ｂは①の円周上にあります
しかし、点Ｐが点Ａまたは点Ｂと一致してしまうと
∠ＡＰＢ＝９０°という条件を満たしません
つまり、求める軌跡は
円　（ｘ－１）^2＋（ｙ－２）^2＝１０
ただし２点Ａ(－２、１)，Ｂ(４、３)を除く
となります。

回答その２

回答その１ですでに気づかれたかと思いますが
早い話が、円周角の性質から
この条件を満たす点Ｐは
２点Ａ(－２、１)，Ｂ(４、３)を直径の両端とする
円周上にあることがすぐに分かります。
その円の中心は２点Ａ，Ｂの中点
円の半径は、ＡＢの長さの半分
ってことで、詳細は省略します。

ベクトルを使うと
ＰＡ→とＰＢ→は直交しているので
内積が０となります。
どちらも０ベクトルではいけないので
点Ｐは点Ａ，Ｂと一致してはいけません。
ＰＡ→＝（－２－ｘ，１－ｙ）
ＰＢ→＝（４－ｘ，３－ｙ）
その内積が０なので
（－２－ｘ）（４－ｘ）＋（１－ｙ）（３－ｙ）＝０
これを整理して同じ結果となります。