質問

凸四辺形OABCにおいて、
OA＝２８，AB＝２１，BC＝５，∠OAB=∠OBC=９０°であるとき
∠AOCの大きさを求めよ。
ただし、近似値，三角関数表などを用いずに厳密に求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／１０
from=／で

図を書いて考えたら、三角形の相似から見えますよ。

ABのB側への延長線と、Cを通りOAに平行な線との交点をDとします。
CからOAに下ろした垂線とOAとの交点をEとすると、
△BDCと△OABにおいて、
∠BDC=∠OAB=∠R
∠CBD=∠BOA=∠R-∠ABO
よって二角相当より△BDCと△OABは相似
また、これらの直角三角形は三辺の比が3:4:5ですから
BD=4
ゆえに　AD=EC=25
CD=EA=3
ゆえに　OE=25
よって△EOCはEO=EC=25、∠OEC=∠Rの直角二等辺三角形
ゆえに∠AOC=∠EOC=45度

お便り２００５／１１／１０
from=wakky

計算過程は省略します。
三平方の定理から
ＯＢ＝３５、ＯＣ＝２５√２
∠ＡＯＢ＝α、∠ＢＯＣ＝βとおくと
∠ＡＯＣ＝α＋β
△ＡＯＢについて
余弦定理から
ｃｏｓα＝４／５
したがって、ｓｉｎα＝３／５
△ＢＯＣについて
余弦定理から
ｃｏｓβ＝（７√２）／１０
従って　ｓｉｎβ＝（√２）／１０
以上から
加法定理によって
ｃｏｓ（α＋β）＝√２／２
※ｓｉｎ（α＋β）でも同様。
よって
∠ＡＯＣ＝α＋β＝４５°・・・（答）

お便り２００５／１１／１１
from=UnderBird

⊿OABで∠AOB＝αとおくと、tanα＝21/28＝3/4
また、三平方の定理からOB=35が求まり、
⊿OBCで∠OBC＝βとおくと、tanβ＝5/35＝1/7
よって、∠AOC＝α＋βに正接の加法定理を用いて
tan(α＋β)＝{tanα＋tanβ}/{1-tanαtanβ}
　　　　 ＝{3/4+1/7}/{1-3/4×1/7}=1
0°＜α＋β＜180°だから、α＋β＝45°

お便り２００５／１１／１１
from=けんさん

三角関数の加法定理を利用します。
∠BOA＝α、∠COB＝βとする。
三平方の定理などからOB＝３５、OC=２５√２となるので
Cosα＝２８／３５、sinα＝３５／２１、cosβ＝３５／２５√２、
sinβ＝５／２５√２。
Cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
　　　　　　 ＝１／√２
よってα＋β＝４５°（π／４）・・・（答）