質問

①Ａ＝{１，－１，i，-i}は乗法と除法に関して
　閉じていることを確かめよ
②４数から成る集合Ｂが乗法と除法に関して閉じていれば、
　Ｂ＝Ａであることを証明せよ 

この問題の証明の仕方がわかりません。教えてください。

★希望★答え希望★

お便り２００５／１０／３０
from=たなか

（１①）
{１、－１、ｉ、－ｉ}が、乗法について閉じていること、
縦横に、１、－１、ｉ、－ｉを書いて乗法の結果を表にしましょう。
結果は、{１、－１、ｉ、－ｉ}のどれかですよね。
ということで、乗法について、閉じている。

（１②）
{１、－１、ｉ、－ｉ}が、除法について閉じていること、
　同様に縦横に、１、－１、ｉ、－ｉを書いて除法の結果を表にしましょう。
結果は、{１、－１、ｉ、－ｉ}のどれかですよね。
ということで、除法についても、閉じている。

（２）
まず、α∈Ｂとすると、α÷α＝１∈Ｂ、従って１∈Ｂ
　次に、１＝β×β∈Ｂとなるβが存在するから、β＝１またはβ＝－１
集合の要素は、４つなので、β＝－１∈Ｂ
　次に、－１＝γ×γ∈Ｂとなるγが存在するから、γ＝iまたはγ＝－i
従ってｉ∈Ｂ、－ｉ∈Ｂ

従って、Ａ＝Ｂ

（※少し記号等を換えましたが、これでいいでしょうか？管理人談）

お便り２００６／４／１７
from=BossF

何度も質問がきているようなので、ミスがないように丁寧にやります(=^・^=)

[解]
４数からなる集合Ｂが乗法と除法に関して閉じてる…①
まずBは①により0を元に持たないことに注意する

∀a∈Bに対しa/a=1だから、①より1∈B

さて１以外のBの元の一つをｂとおくと

①より{1,b,b^2,b^3,b^4}⊆Bだから、

1,b,b^2,b^3,b^4の少なくとも一つは一致する
ここで、b≠1よりb≠b^2,b^2≠b^3,b^3≠b^4に注意すると
1=b^2,1=b^3,1=b^4,b=b^3,b=b^4,b^2=b^4
i.e.
1=b^2,1=b^3,1=b^4

(i)b^2=1のとき
　b≠1だからb=-1
　∴ｃ∈B ∧ｃ≠±1…②　なるｃが存在
　すると(-1)・c=－c∈Bで,ｃ≠±1より-ｃ≠±1だから
　±1,±c　は異なる４数
　よって①よりc^2=±1,±c これと②よりc=±i
  i.e. B={±1,±i}が必要

(ii)b^3=1
   b≠1だからb=ω　（x^3=1の虚根の一つをωとすると他方はω^2で、
　それらは互いに共役であることは既知とします）
　　明らかにω^2∈B なので
　c∈B ∧ｃ≠1,ω,ω^2…②なるcが存在せねばならない
  するとcω＝1,ω,ω^2,c(≠0)
  すなわち c=ω^2,1,ω またはω=1
  これは矛盾　よってb^3=1の時①は成立しない

(iii)b^4=1のとき
　　b=-1,±i
    b=-1なら(i)で示したごとく残りは±i
　　b=iなら b^2=-1 と残りは -i
    b=-iなら b^2=-1 と残りは i
   いずれにせよB={±1,±i}が必要

十分性は明らかなので
以上より
　　　①⇔B={±1,±i}