質問＜２６１３＞２００５／１０／８
from=ken
「媒介変数」

んとですね、
x=t-sin(t),y=1-cos(t) |0≦t≦2π
でできるｻｲｸﾛｲﾄﾞ曲線の長さを教えてください。
なるべく積分を使わないやり方でお願いしますm(_ _;)m

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２
from=たなか

まず、積分を使わずに解答するのは、無理でしょう。さて、

dx/dt=1-cos(t),dy/dt=sin(t)
従って、
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2={1-cos(t)}^2+sin^2(t)
=2(1-cos(t))=2(1-(cos^2(t/2))-sin(^2(t/2))）
=4sin^2(t/2)

0≦t≦2πのとき、0≦t/2≦πであるから0≦sin(t/2)
従って
L=∫〔0≦t≦2π〕√{4sin^2(t/2)}dt
 =2∫〔0≦t≦2π〕sin(t/2)dt
 =2[-2cos(t/2)]〔0≦t≦2π〕
 =8