質問＜２５６７＞２００５／８／３０
aを定数とし、ｘの２次関数y=x２乗-2(a+2)x+a２乗-a+1のグラフをGとする。 □を埋める問題です。 （１）グラフGとｙ軸との交点のｙ座標をYとする。Yの値が最小になるのは a=□のときで最小値は□である。このときグラフGはｘ軸と異なる２点で交 わりその交点のｘ座標は□である。 （２）グラフGがｙ軸に関して対称になるのはa=ー□のときでこのときの グラフをG1とする。 グラフがｘ軸に接するのはa=ー□のときでこのときのグラフをG２とする。 グラフG1をｘ軸方向に□、ｙ軸方向に□だけ平行移動するとグラフG2に重なる。 □の答えだけではなくなぜこの答えになるか・・ というのをぜひ教えていただきたいです。 ★希望★完全解答★
お便り２００５／９／２２
from=wakky
ｙ＝ｘ^2－２（ａ＋２）＋ａ^2－ａ＋１・・・（＊） （１） ｙ軸との交点のｙ座標Ｙは （＊）においてｘ＝０とすればよいから Ｙ＝ａ^2－ａ＋１ これを平方完成して Ｙ＝｛ａ－（１／２）｝^2＋３／４ よって、ａ＝１／２のときＹは最小値３／４を得る・・（答） このとき、二次方程式 ｘ^2－２（ａ＋２）＋ａ^2－ａ＋１＝０に ａ＝１／２を代入して ｘ^2－５ｘ＋３／４＝０ これを解いて 異なる２点のｘ座標は ｘ＝（５±√２２）／２・・・（答） （２） ｙ軸に関して対象であるということは、放物線（＊）の軸のｘ座標が、ｘ＝０ すなわち、ｙ軸そのものであるということだから、 （＊）を平方完成させると ｙ＝｛ｘ－（ａ＋２）｝^2－５ａ－３だから 軸のｘ座標はｘ＝ａ＋２＝０ということなので ａ＝－２・・・（答） あるいは ｙ軸に関して対象⇔ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）だから （ａ＋２）ｘ＝０となり これが任意のｘに関して成り立つことからａ＝－２ としてもいいでしょう。 次に Ｇ１がｘ軸に接するのだから、頂点のｙ座標はｙ＝０ すなわち、－５ａ－３＝０より ａ＝－３／５ 以上から Ｇ１：ｙ＝ｘ^2＋７ Ｇ２：ｙ＝｛ｘ－（７／５）｝^2 であるから Ｇ１のグラフを ｘ軸方向に７／５、ｙ軸方向に－７だけ平行移動すると グラフＧ２と重なる。