質問＜２５４３＞２００５／８／２１
from=みやび
「高次方程式」

a、bを実数とする。xについての方程式x^3＋ax^2＋bx＋a^2－2＝0がx＝－1を
解にもつ。このときb＝a^2＋a－3である。さらに、x^3＋ax^2＋bx＋a^2－2＝0が
異なる３つの実数解－1、t、2tをもち、これらの中で最も大きいものがtである
とき、aとbの値を求めよ。

答えはa＝10/7、b＝23/49なんですけど、解き方が全くわかりません。。
どなたか教えてください。。

★希望★完全解答★

お便り２００５／８／２５
from=あつし

方程式x^3+ax^2+bx+a^2-2=0がx=-1を解に持つので
(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+a^2-2=0
が成り立つ。これを整理してb=a^2+a-3
すると方程式は
x^3+ax^2+(a^2+a-3)x+a^2-2=0
と書ける。また、この方程式がx=-1を解に持つことから、
上式の左辺を多項式と見ると、左辺はx+1を因数に持つ。
よって、左辺をx+1で割ると
x^3+ax^2+(a^2+a-3)x+a^2-2=(x+1){x^2+(a-1)x+(a^2-2)}
と因数分解できる。
問題文よりこの方程式はx=-1,t,2tを解に持つので、
２次方程式x^2+(a-1)x+(a^2-2)=0の２解はx=t,2tであることが分かる。
よって解と係数の関係から
t+2t=-(a-1),t*2t=a^2-2
が成り立つ。この２式からtを消去すると
tの２次方程式
7t^2-6t-1=0
を得るので、これを解いてt=1,-1/7
さてここでt,2t,-1の中でtが１番大きいので
t＞2t,-1＜t
でなければならない。つまり-1＜t＜0でないといけないので、
結局求めるtの値はt=-1/7
このtの値をt+2t=-(a-1)に代入するとaの値が求められ、
そのaの値をb=a^2+a-3に代入するとbの値が求められる。