質問＜２５４０＞２００５／８／２０
from=ウイルソン
「ｎ×ｎの行列式の値」

次の行列式の値が分かりません。
どなたか教えてください。

下の行列式は、
①ｎ×ｎの正方行列式
②対角成分が全て1
③対角成分の右隣も1
④（ｎ，1）成分も1
である。この行列式の値はいくらか？


   ｜1 1 0 0 ・・・0｜
   ｜0 1 1 0 ・・・0｜
   ｜0 0 1 1 ・・・0｜
X= ｜0 0 0 1 ・・・0｜
   ｜：：：：：：：0｜
   ｜0 0 0 0 ・・1 1｜
   ｜1 0 0 0 ・・・1｜

★希望★完全解答★

お便り２００５／９／３
from=UnderBird

   ｜1 1 0 0 ・・・0｜
   ｜0 1 1 0 ・・・0｜
   ｜0 0 1 1 ・・・0｜
X= ｜0 0 0 1 ・・・0｜
   ｜：：：：：：：0｜
   ｜0 0 0 0 ・・1 1｜
   ｜1 0 0 0 ・・・1｜

を第ｎ行が 0 0 0 0 ･ ･ ･ 1 と 1 0 0 0 ･ ･ ･ 0 
他の行はそのままの行列式の和に分ける。
第１項は対角成分がすべて1の上三角行列となるから、その値は１。
第２項は第ｎ行で展開すると
(-1)^(n+1)×対角成分がすべて１の(n-1)次の下三角行列となるから、
   ｜1 1 0 0 ・・・0｜
   ｜0 1 1 0 ・・・0｜
   ｜0 0 1 1 ・・・0｜
X= ｜0 0 0 1 ・・・0｜=1+(-1)^(n+1)×1
   ｜：：：：：：：0｜
   ｜0 0 0 0 ・・1 1｜
   ｜1 0 0 0 ・・・1｜
よって、nが偶数のときX=0,nが奇数のときX=2
ただし、nは2以上の自然数