質問＜２５４１＞２００５／８／２１
from=カトレア
「線形代数：二次形式の問題」

次の問題の解き方が分かりません。
よろしくお願いします。

二次形式
X^2－2XY＋Y^2－2X－Y－1＝0

対角化や線形変換を用いて、上記の式のグラフを描きたいです。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２２
from=けんさん

θ回転の逆行列を考え1次変換の要領でやればよいと思います。
ｘ＝ｘ’cosθ＋ｙ’sinθ
ｙ＝－ｘ’sinθ＋ｙ’cosθ
これを与式に代入すると、
x’y’の項は（sin＾２θ－cos＾２θ）x’y’となる。
この係数が０になるθの値を考える。
θ＝π／４として十分なので、このとき与式は
２ｘ’＾２－1／√２ｘ’－３／√２ｙ’－１＝０となる。
簡単な2次関数なので、このグラフを描いた後
原点を中心に－π／４回転させてやれば
与えられた方程式のグラフが描けると思います。
（座標軸をπ／４回転させてもよい）
ちょっと自信ないですが参考まで。。。