質問＜２４３５＞２００５／７／１
from=みやこ
「三次方程式」

（１）
三次方程式x^3＋(a－1)x^2＋(4－a)x－4＝0が二重解をもつように、
実数aの値を求めよ。
（２）
三次方程式x^3＋ax^2＋bx－12＝0の１つの解が－3で、
他の二つの解の和が－8であるとき、
定数a、bの値と－3以外の二つの解を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／７／３
from=Sirius

（１）
x^3＋(a－1)x^2＋(4－a)x－4＝0

f(x)=x^3＋(a－1)x^2＋(4－a)x－4 とおくと、
f'(x)=3x^2＋2(a－1)x＋(4－a)

二重解をp、他の解をqとおくと
f'(p)=3p^2＋2(a－1)p＋(4－a)＝0　･･･①

また、解と係数の関係より
－a＋1＝2p＋q　･･･②
4－a=p^2＋2pq　･･･③
4＝p^2q　　　　･･･④

②より、a＝－2p－q＋1　･･･⑤

これを①に代入して整理すると、
p^2＋2p(q－1)－q－3　･･･⑥

また、④より
q＝4/p^2　･･･⑦

⑦を⑥に代入して整理すると、
p^4－2p^3－3p^2＋8p－4＝0

因数定理を用いて解くと、
(p－1)^2(p－2)(p＋2)＝0

よってpは1,2,－2である

これをそれぞれ④に代入すると、
(p,q)＝(1,4)、(2,1)、(－2,1)

⑤に代入してa＝－5,－4,4　･･･答

（２）
x^3＋ax^2＋bx－12＝0

一つの解が－3より、xに－3を代入して整理すると、
9a－3b－39＝0　･･･①

他の二つの解の和が－8より解と係数の関係を使って
－a＝－3－8＝－11

∴a＝11

①に代入して、
b＝20

与式にa,bそれぞれを代入して
x^3＋11x^2＋20x－12＝0

－3を解に持つので、因数定理より
(x＋3)(x^2＋8x－4)＝0

解の公式より
x＝－4±2√5