質問

（１）
二次方程式x^2＋2ax＋2a^＋2a－3＝0が実数解α、βをもつとき、
α^2＋αβ＋β^2の最大値と最小値を求めよ。ただし、αは実数の定数とする。
（２）
二次方程式x^2＋(k＋a)x＋k^2＋a＝0がどんな実数kに対しても実数解をもたない
ような実数aの値の範囲を求めよ。
（３）
二つの二次方程式x^2－2ax＋4＝0とx^2－2ax＋3a＋4＝0について、
少なくとも一方の方程式が虚数解をもつように、実数の定数aの範囲を求めよ。
（４）
二次方程式x^2－x＋4＝0の二つの解をα、βとするとき、
α^2＋β、α＋β^2を解とする二次方程式を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／７／３
from=Sirius

（１）
x^2＋2ax＋2a^＋2a－3＝0　←2a^を2a^2 と解釈しました。

与式は実数解を持つので
判別式をＤとすると
Ｄ/4＝－a^2－2a＋3≧0

∴－3≦a≦1　①

解と係数の関係より
－2a＝α＋β　･･･②
2a^2＋2a－3＝αβ　･･･③

α^2＋αβ＋β^2＝(α＋β)^2－αβ　と書けて

②^2－③
＝2a^2－2a＋3
＝2(a－1/2)^2＋5/2

aは①の範囲内で動くので
a＝－3の時　最大値27
a＝1/2の時　最小値5/2　をとる　･･･答

（２）
x^2＋(k＋a)x＋k^2＋a＝0

与式の判別式をＤ１とすると、xは実数解を持たないので

Ｄ１＝(k＋a)^2－4k^2－4a＜0

整理すると
3k^2－2ak－a^2＋4a＞0

この式の判別式をＤ２とするとkも実数解を持たないので

　Ｄ２＝4a(a－3)＜0
⇔0＜a＜3　･･･答

（３）
二つの二次方程式x^2－2ax＋4＝0とx^2－2ax＋3a＋4＝0について、
少なくとも一方の方程式が虚数解をもつ実数の定数aの範囲を出すためには、
どちらも実数解を持つ場合の逆を考えればよい(背理法)

どちらも実数解を持つとき
それぞれの式の判別式をＤ１、Ｄ２とすると

　Ｄ１/4＝a^2－4≧0
⇔a≦－2、2≦a

　Ｄ２/4＝a^2－3a－4≧0
⇔a≦－1、4≦a

それぞれの共通部分を考えて
a≦－2、4≦a

これの逆の範囲は
－2＜a＜4　･･･答

（４）
x^2－x＋4＝0

解と係数の関係より
α＋β＝1　･･･①
αβ＝4　　･･･②

α^2＋β、α＋β^2を解とする二次方程式は、解と係数の関係より

x^2－(α^2＋β^2＋α＋β)x＋α^3＋β^3＋α^2β^2＋αβ＝0

x^2－(①^2－2×②＋①)＋①^3－3×①×②＋②^2＋②＝0

⇔x^2＋6x＋9＝0　･･･答

お便り２００５／７／３
from=wakky

基本問題ですねぇ
どんな参考書にも出ていると思います。
（１）
まず、異なる２つの実数解を持つのだから
判別式＞０
これで、ａのとりうる範囲が分かります。
－３＜ａ＜１かな？
この範囲で
解と係数の関係から
α＋β＝－２ａ、αβ＝２ａ^2＋２ａ－３
α^2＋αβ＋β^2＝（α＋β)^2－αβ＝ａに関する二次式
の最大・最小を求める事になります。
（２）
まず判別式＜０
判別式＝－３ｋ^2＋ａ^2－２ａ＜０となるかな？
どんな実数ｋに対しても－３ｋ^2≦０だから
ｋの値にかかわらず判別式＜０となるためには
ａ^2－２ａ＜０
（３）
少なくとも一方が虚数解をもつ・・・とは・・・
「両方とも実数解を持つ」という命題の否定
（４）
解と係数の関係から
α＋β＝１、αβ＝４
ならば
（α^2＋β）＋（α＋β^2）＝？
（α^2＋β）（α＋β^2）＝？