質問＜２２７７＞２００５／４／７
from=トム
「整数問題」

ルート（2のｎ乗＋2の100乗)が整数となるような整数ｎを求めよ。
をといてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／１０
from=宵かがり

自然数mに対して、2^n+2^100=m^2･･･※
と書ける。

2^n={m-(2^50)}{m+(2^50)}
よって
m-(2^50)=2^i･･･(1)
m+(2^50)=2^j･･･(2)
(iとjはi＜jとなるような自然数)
(2)－(1)より
2^51=2^i*{2^(j-i)-1}

2^(j-i)-1は奇数だから2^(j-i)=2
2^i=2^51
となる。

よってi=51、j-i=1となる
したがって、j=52,i=51となる。

(1)に代入してm=3*2^50

※に代入して2^n+2^100=9*2^100

2^n=8*2^100=2^103

よってn=103となります。