質問

f(x)=4x^3-4ax^2+(a^2+3)x+a^2+4a+7
の時，
（１）任意のaについてf(m)=0が成り立つ実数mを求めよ．
（２）三次方程式f(x)=0の３つの解を複素平面上に
図示するとき，それらが正三角形となるようにaを求めよ．

の２問，教えてください．

（１）の条件を満たすということはつまり，
３次方程式の判別式D＞0という考えでよろしいのでしょうか？
また３次方程式の判別式は，
　　D=-4a^3-27b^2
でいいのですか？

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／６
from=honda

問題文が怪しいですね
たぶん，aは実数という条件がもれているように
思いますので，aは実数と仮定します．

(1)
f(x)=-4a(x^2-1)+a^2(x+1)+4x^3+3x+7
なので，任意のaに対してf(m)=0を満たすのは
x^2-1=0，x+1=0，4x^3+3x+7=0の共通解
よって，m=-1

(2)
f(x)=(x+1){4x^2-4(a+1)x+a^2+4a+7}
4x^2-4(a+1)x+a^2+4a+7=0の実数解をもつならば
-1とそれらの実数解が正三角形をなすことはない．
よって，実数解をもたない
（実数係数の2次方程式は，
実数解をもてばほかの解も実数であることに注意）
また，実数係数なので，
4x^2-4(a+1)x+a^2+4a+7=0の虚数解\alpha，\betaは
互いの共役なので，
それぞれ，\alpha=b+ci，\beta=b-ciとおける
3点-1，\alpha，\betaが正三角形をなす条件は
|\alpha+1|=|\beta+1|=|\alpha-\beta|・・・(A)
である．
解と係数の関係より
2b=\alpha+\beta=a+1
b^2+c^2=\alpha\beta=(4a+7)/4
(A)より
(b+1)^2+c^2=4c^2・・・(B)
すなわち
(b+1)^2=3c^2
そこでb=(a+1)/2，c^2=(4a+7)/4 - b^2によって，
(B)からbとcを消去すると
(a+3)^2/4 = (-3a^2+6a+18)/4
これをといて
a=3/2，-3/2

-------------------------------
>（１）の条件を満たすということはつまり，
>３次方程式の判別式D＞0という考えでよろしいのでしょうか？

ということでこれは違います．
判別式とは何も関係ありません．
そもそも判別式は
その方程式が重解をもつか否かを判別するだけの
もので，それがたまたま
実数係数でかつ二次方程式のときのみ
実数解か虚数解かまで判別できるというだけの
ことなのです．
なお，一般のn次の代数方程式の
判別式というのは
解をa_1，a_2，...，a_nとして
(a_i-a_j)^2をすべての異なるi，j (i＜j)に対して
掛け算したもので，
二次方程式の場合は
(\alpha-\beta)^2
=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta
=b^2/a^2 - 4 c/a 
=(b^2-4ac)/a^2
となって，普通の判別式と同様になります．
3次のときは，
2次の項の係数が0のときに
-4a^3-27b^2
と同様のものになりますが
ほとんど使えません．

お便り２００４／１１／６
from=風あざみ

(1)
任意のaに対して
4m^3-4am^2+(a^2+3)m+a^2+4a+7=0
になっているので、4m^3-4am^2+(a^2+3)m+a^2+4a+7=0がaに関する恒等式に
なっていることがわかります。

4m^3-4am^2+(a^2+3)m+a^2+4a+7をaについて整理すると
(m+1)a^2+(4-4m^2)a+4m^3+3m+7=0となります。

(m+1)a^2+(4-4m^2)a+4m^3+3m+7=0がaに関する恒等式なので、mは
m+1=0…{1}
4-4m^2=0…{2}
4m^3+3m+7=0…{3}
{1}を解くとm=-1
{2}を解くとm=±1
{3}を解くとm=-1、(1±√6i)/2(iは虚数単位)
共通する解はm=-1
したがって、求めるmはm=-1である。

(2)
(1)よりx=-1はf(x)=0の解だから、f(x)は
f(x)=(x+1){4x^2-(4a+4)x+a^2-4a+7}
と因数分解される。
したがって、f(x)=0の解はx=-1と4x^2-(4a+4)x+a^2-4a+7=0の解で
あることがわかる。

4x^2-(4a+4)x+a^2-4a+7=0の解が実数だと仮定すると、f(x)=0の解は
複素平面で線分となって不合理。

4x^2-(4a+4)x+a^2-4a+7=0の解は共役な複素数
u+vi、u-vi(u,vは実数、iは虚数単位)

解と係数の関係より
(u+vi)+(u-vi)=4(a+1)/4…{4}
(u+vi)*(u-vi)=(a^2-4a+7)/4…{5}

u+vi、u-viと-1が複素平面で正三角形になるので
√{(u+1)+v^2}=√{(u+1)^2+(-v)^2}=(2v)^2…{6}
{4},{5},{6}を整理して
a=2u-1…{7}
4u^2+4v^2=a^2-4a+7…{8}
(u+1)^2=3v^2…{9}
{7}を{8}に代入して、aを消去して整理すると
v^2=3-3u…{10}
{10}を{9}に代入して、vを消去して整理すると
u^2+11u-8=0…{11}
{11}を解くとu=(-11士3√17)/2…{12}
{12}を{10}に代入すると
v=√(39干9√17)/2
{12}を{7}に代入するとa=-12士3√17

従って、求めるaの値はa=-12±3√17です。

お便り２００４／１１／１０
from=honda

2043(2)
解と係数の関係でミスしてますね(^^;
方針は風あざみさんとまったく同じです．

実際に計算はしてないですが
aが実数という条件がなくてもよさそうです．
4x^2-4(a+1)x+a^2+4a+7=0の虚数解\alpha，\betaに
に対して
\alpha+1=((1+-\sqrt{3}i)/2) * (\beta+1)
を解と係数の関係のもとで解けばよいでしょうね