質問＜１４９９＞２００３／１１／２８
from=みき
「写像」

すみません。分からない問題が出てきました。教えてください。
次の問題です。
　写像　ｆ：Ａ→Ｂ　、ｇ：Ｂ→Ｃについて次を証明し
　なさい。
　ｇ。ｆが全射かつｇが単射ならばｆは全射である。　

お便り２００３／１２／６
from=petit

Ｂの任意の元ｂに対してｇ（ｂ）∈Ｃ　
またｇ。ｆは全射だから（ｇ。ｆ）（ａ）＝ｇ（ｆ（ａ））＝ｇ（ｂ）と
なるようなａ∈Ａが存在します。ｇは単射であるから
ｇ（ｆ（ａ））＝ｇ（ｂ）よりｆ（ａ）＝ｂとなり，従ってｆは全射です
（∵Ｂの任意の元ｂに対してｆ（ａ）＝ｂなるａ∈Ａが存在する）。

（別解）ｇ。ｆは全射だから（ｇ。ｆ）（Ａ）＝Ｃ よって
Ｃ＝（ｇ。ｆ）（Ａ）＝ｇ（ｆ（Ａ））⊂ｇ（Ｂ）⊂Ｃ
よりＣ⊂ｇ（Ｂ）⊂Ｃを得るのでｇ（Ｂ）＝Ｃとなり，ｇは全射です。
仮定からｇは単射でもあったので，このときｇは全単射であることが分か
ります。故にｇ＾（－１）（逆写像）も全単射になるので，
Ｂ＝ｇ＾（－１）（Ｃ）
　＝ｇ＾（－１）（（ｇ。ｆ）（Ａ））
　＝（ｇ＾（－１）。（ｇ。ｆ））（Ａ）
　＝（（ｇ＾（－１）。ｇ）。ｆ）（Ａ）
　＝ｆ（Ａ）　
ｆ（Ａ）＝Ｂが得られたのでｆは全射です。