質問

（問１）
ｙ＝ｘ二乗＋２ｘ＋ｍ・・・①
ｙ＝ｘ二乗＋ｍｘ＋ｍ＋３・・②について
（１）②のグラフは、ｍの値にかかわらずある定点（　，　）を通る。
（２）②の頂点はＰ（　　，　　）でｍの値の変化によってＰは動く。
　　　この動く点Ｐの軌跡を式で表せ。
（３）①と②がともにｘ軸と共有点を持つとき、ｍの値の範囲を示せ。
（４）①の解がともに負となるｍの値の範囲を示せ。
（５）ｘのどんな値に対しても
　　　（ｘ二乗＋２ｘ＋ｍ）＋（ｘ二乗＋ｍｘ＋ｍ＋３)＞０が成り立つ
　　　ようなｍの値の範囲を求めよ。

（問２）
ｘ＋３ｙ＝１，ｘ≧０，ｙ≧ー２のとき、
（１）ｙの領域を不等式で示せ。
（２）ｘ二乗＋ｙ二乗の最大値、最小値とそのときのｘ、ｙの値を求めよ。
（３）ｘ＋３ｙ＝１（直線の一部）とｘ二乗＋ｙ二乗の最大値、最小値の
　　　図形的意味を説明せよ。

（問３）
ｘ二乗－ａｘ＋２ａ＋４＝０の解について、
（１）１より大きい解と１より小さい解を持つａの条件を示せ。
（２）２つの解がともに１より大きい解を持つときａの値の範囲を示せ。

（問４）
ｘ二乗＋ｘ＋Ｐ＝０の解をａ，ｂ
ｘ二乗＋３x＋Ｐ＝０の解をｃ，ｄとするとき、
（a-c)(a-d)(b-c)(b-d)をＰの式で表せ。

二次関数苦手です。
宜しく御願いいます。

お便り２００３／１０／２
from=phaos

問一
(1) m(x + 1) + x^2 - y + 3 = 0
より
x + 1 = 0,
x^2 - y + 3 = 0.
従って (-1, 4).

(2) y = x^2 + mx + m + 3
= (x + m/2)^2 -m^2/4 + m + 3
P(-m/2, -m^2/4 + m + 3).
x = -m/2,
y = -m^2/4 + m + 3
と置くと, 最初の式から m = -2x
これを二番目の式に入れて
y = -x^2 - 2x + 3.

(3) ① で y = 0 とするとき x の判別式を D とすれば
D/4 = 1 - 4m ≧ 0 即ち m ≦ 1/4.
② でも同様にして
D = m^2 - 4(m + 3) = m^2 - 4m - 12 = (m - 6)(m + 2) ≧ 0
即ち m ≦ -2, 6 ≦ m.
以上より m ≦ -2.

(4) 先ず m ≦ 1/4.
x = 0 の時を考えて m > 0.
頂点の x 座標は -1 なので OK.
以上より 0 ＜ m ≦ 1/4.

(5) 2x^2 + (m + 2)x + 2m + 3 > 0.
左辺 = y と置いて graph を考えると
D = (m + 2)^2 - 8(2m + 3)
= m^2 + 4m + 4 - 16m - 24
= m^2 - 12m - 20 ＜ 0.
D = 0 と置くと
m = 6 ± √56 = 6 ± 2√14.
従って 6 - 2√14 ＜ m ＜ 6 + 2√14.

問二
(1) x = 1 - 3y ≧ 0 より
3y ≦ 1 だから y ≦ 1/3.
元のものと合わせて
-2 ≦ y ≦ 1/3.

(2) x^2 + y^2 = (1 - 3y)^2 + y^2
= 10y^2 - 6y + 1
= 10(y^2 - 3y/5) + 1
= 10(y - 3/10)^2 - 9/10 + 1
= 10(y - 3/10)^2 + 1/10.
より, y = 3/10 (x = 1/10) の時最小値 1/10.
y = 0 (x = 7) の時最大値 53.

(3) x + 3y = 1 上の点と, 原点との距離の自乗の最大値と最小値。

問三
(1) x = 1 の時 1 - a + 2a + 4 ＜ 0.
即ち a + 5 ＜ 0.
a ＜ -5.

(2) 実数解を持つための条件は
D = a^2 - 4(2a + 4)
= a^2 - 8a - 16 ≧ 0.
D = 0 と置くと a = 4 ± √32 = 4 ± 4√2.
だから a ≦ 4 - 4√2, 4 + 4√2 ≦ a.
x = 1 の時 a + 5 > 0 つまり a > -5.
左辺 = (x - a/2)^2 - a^2/4 + 2a + 4
だから a/2 > 1 つまり a > 2.
だから a ≧ 4 + 4√2.

問四
二次方程式の解と係数の関係を用いる。
最初の式から
a + b = -1,
ab = P.
c + d = -3,
cd = P
よって
与式 = (a^2 - (c + d)a + cd)(b^2 - (c + d)b + cd)
= (a^2 + 3a + P)(b^2 + 3b + P)
= P^2 + (a^2 + b^2 + 3(a + b))P + ab(a + 3)(b + 3)
= P^2 + ((a + b)^2 - 2ab  - 3)P + P(ab + 3(a + b) + 9)
= P^2 + (1 - 2P - 3)P + P(P - 3 + 9)
= P^2 - 2P^2 - 2P + P^2 + 6P
= 4P.

お便り２００３／１０／２
from=Tetsuya Kobayashi

[問題4]
4p.