質問

（1）2次方程式ｘ＾2－ｐｘ＋2ｐ＝0の解は虚数で、
解の3乗は実数であるとき、実数Ｐの値を求めよ。

（2）ａ、ｂ、ｃは実数の定数とする。
2次方程式ｘ＾2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ－ｃ＾2＝0は実数解を持つことを示せ。
また、重解をもつのはどのような時か。

お便り２００３／６／９
from=Tetsuya Kobayashi

(1) p=-4. (解の偏角は？)

(2) (解の公式に当てはめて、根号の中身が0以上になることを示せば良い。)
    重解条件は、a=b かつ c=0 。

お便り２００６／９／２
from=平　昭

(１）は誤解答ですね。
ｐ＝－４を与式に代入すると、解は実数になってしまいますから。

　与えられた方程式の解をα、βとする。
ｐは実数なので、ａ、ｂを実数としてα＝ａ＋ｂｉ、β＝ａ－biとおける。
解と係数の関係より、p=α+β=2a、2p=αβ=a^2+b^2

さて、与えられた方程式より、α^2＝(pα-2p)だから
α^3＝(pα-2p)α＝(2a^2+2abi-4a)(a+bi)
    ＝2a(a^2-2a-b^2)＋ 4a(a-1)bi
 
 これが実数なので、a=０、またはa＝1、またはｂ＝０
しかし、αは虚数なのでｂは０でない。またａ＝０だとｂ＝０となって
これも条件に合わない。
　題意に合うのはａ＝１のみで、

　この時　ｐ＝２

　なおこの時、与えられた方程式は、
ｘ＾2－２ｘ＋４＝０で、二つの解は１±√３・i。
解の３乗＝－８となり確かに題意を満たす。