質問

前回はありがとうございました。またお願いします。

（問１）
（ｘ^2－ｘ－１）^5の展開式でｘ^7の係数を求めよ。
という問題なのですが、
特に、ｘ^7は2p+q=7のときであるから、
(p,q,r)=(3,1,1),(2,3,1)
というのがよく分からないので教えてください。

（問２）
（ｘ－1/2x）^8の展開式の定数項を求めよ。
という問題の、
「定数項は　8-r=r のとき」
というのがなぜなのかわからないので教えてください。

お返事２００３／５／２８
from=武田

（問１）
（ａ＋ｂ＋ｃ）^n　の二項係数は、ｐ＋ｑ＋ｒ＝ｎとすると、
　　ｎ！
――――――・ａ^p・ｂ^q・ｃ^r
ｐ！ｑ！ｒ！

　　５！
――――――・（ｘ^2）^p・（－ｘ）^q・（－１）^r
ｐ！ｑ！ｒ！

　５！（－１）^(q+r)
＝―――――――――・ｘ^(2p+q)
　ｐ！ｑ！ｒ！

ｘ^7の係数だから、２ｐ＋ｑ＝７
ｐ＋ｑ＋ｒ＝５より、上の不定方程式に当てはまる値は、
（ｐ，ｑ，ｒ）＝（２，３，０）、（３，１，１）

したがって、係数は
５！（－１）^3　５！（－１）^2
―――――――＋―――――――
２！３！０！　　３！１！１！

＝－１０＋２０＝１０………（答）

（問２）
８Ｃｒ・ｘ＾(8-r)・（－１／２）^r・ｘ^(-r)
＝８Ｃｒ・（－１／２）^r・ｘ^(8-2r)
定数項はｘ^0より、
８－２ｒ＝０
∴ｒ＝４
定数項は、８Ｃ４・（－１／２）^4
　　　　　　８・７・６・５　　１　　３５
　　　　　＝―――――――・――　＝――　………（答）
　　　　　　４・３・２・１　１６　　　８

お便り２００３／５／２９
from=エリイ

すみません…。
〈１２２３〉についてまだわからないところがあるのですが…

２ｐ＋ｑ＝７
ｐ＋ｑ＋ｒ＝５より、不定方程式に当てはまる値は、
（ｐ，ｑ，ｒ）＝（２，３，０）、（３，１，１）

なのですが、方程式の数が２つ。内変数の数がｐとｑとｒの３つなので、
方程式の数が一つ足りないと思うのですが…
この３つのうち、ひとつは勝手に決めてしまってよいのでしょうか…？
もしそうだとするなら、
（１，５，－１）　（４，－１，２）…
など、たくさん存在するとおもうのですが、なぜ、
（２，３，０）、（３，１，１）
なのでしょうか。
このあたりがまだわかりません…

すみません。もう一度お願いします。

お返事２００３／５／２９
from=武田

条件が１つ落ちていました。ｐ≧０、ｑ≧０、ｒ≧０と言う具合で、
全部正の値です。これは二項定理（多項定理）の条件です。