質問＜１０５５＞２００３／１／２
from=乱歩
「二次関数」

次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。ただし、軸はy軸に平行とする。

頂点が直線y=2x上にあり、２点（-1,-2),(1,-6)を通る。

ap=1までは求めたのですが....そのあとが...

お便り２００３／１／３
from=phaos

頂点が直線y=2x上にあり
ということだから頂点の座標を (t, 2t) と置くことが出来て
y = a(x - t)^2 + 2t
となる。

2 点（-1,-2),(1,-6)を通る
のだから各々代入すると
-2 = a(-1 - t)^2 + 2t-6 = a(1 - t)^2 + 2t
である。
引算すると at = 1 を得る (ということろまではやったのね)。
辺々加えて 2 で割ると
-4 = at^2 + 2t + a
辺々 t 倍する
-4t = at^3 + 2t^2 + at
ここで at = 1 を用いると
-4t = t^2 + 2t^2 + 1
3t^2 + 4t + 1 = 0
(t + 1)(3t + 1) = 0.
故に t = -1, t = -1/3.
t = -1 ⇒ a = -1 で
y = -1(x + 1)^2 - 2.

t = -1/3 ⇒ a = -3 で
y = -3(x + 1/3) - 2/3.

お便り２００３／１／３
from=toshi

まず、関数をｙ＝α（ｘ-β）＾2+γとおくと
頂点条件よりγ＝2β
両2点の条件を入れるとαβ＝1である。
> ap=1までは求めたのですが
に相当すると思います。

α＝1/βを関数にいれ、与えられた点のどちらかを入れると（結果は同じ）
-4＝1/β+3βである。両辺をβ倍してβの二次方程式と見て解くと
y=-x^2-2x-3
y=-3x^2-2x-1
である。
確認すれば条件を満たす事は判る。