質問＜１０５４＞２００２／１２／３１
from=てつや
「2次関数」

2点Ｏ（0、0）とＡ（2、－2）を通る2次曲線ｙ＝ａｘ＾2＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞0）
について

（1）頂点Ｐの座標をａの式で表せ。

（2）ａが変化するとき、ＯＰを対角線とし、座標軸と平行な辺を持つ長方形の
周囲の長さの最小値を求めよ。

問題の意味も分かりません。教えて下さい。

お便り２００３／１／３
from=phaos

y = ax^2 + bx + c, a > 0
は O と, A(2, -2) を通るのだから各々代入して
c = 0,
-2 = 4a + 2b + c

だから 2a + b = -1.
従って b = -2a - 1

元の式に代入して
y = ax^2 - (2a + 1)x
= a(x^2 - (2 + 1/a)x)
= a((x - (2 + 1/a)/2)^2 - (2 + 1/a)^2/4)
= a((x - (2 + 1/a)/2)^2 - a(2 + 1/a)^2/4

(1) P(1 + 1/(2a), a + 1 + 1/(4a)).
(2) OP を対角線とする長方形の縦の長さは a + 1 + 1/(4a),
横の長さは 1 + 1/(2a) だから
周囲の長さは
2(a + 1 + 1/(4a) + 1 + 1/(2a))
= 2(2 + a + 3/(4a))
≧2(2 + 2√(a×3/(4a)) … 相加平均と相乗平均の関係
= 2(2 + 2√(3/4))
= 2(2 + 2(√3)/2) = 2(2 + 2√3)
よって最小値は 2(2 + 2√3).
このときの a は a = 3/(4a), a > 0 だから
4a^2 = 3, a > 0 即ち
a = (√3)/2.