質問＜８９９＞２００２／７／２８
from=片岡秀春
「二次関数」

僕は勉強が苦手です。特に数学です。
この問題はどうしても判らないし、しかも解答がないのでどうやって
といたらよいかわかりません。教えて下さい。

f(x)=-x２乗+ax+a-2,g(x)=x２乗-(a-2)x+3について
つぎの条件を満たすようなaの範囲を定める。
１、どんなxの値に対してもf(x)＜g(x)が成り立つ。
２、どんなx1,x2の値に対しても、f(x1)＜g(x2)が成立つ。

どうか宜しくお願いします。

お便り２００２／７／３１
from=Tetsuya Kobayashi

h(x)=g(x)-f(x) とおくと、
h(x)=2x^2-2(a-1)-a+5 で y=h(x) のグラフは下に凸ですから、
(1) ⇔「 全ての実数 x に対して h(x)＞0 」
　　⇔「 h(x)=0 の判別式 D＞0 」
となります。
計算は省略しますが、(1) ⇔「 -3＜a＜3 」となります。

また、y=f(x) は上に凸、y=g(x) は下に凸のグラフですから、
(2) ⇔「 (g(x)の最小値)＞(f(x)の最大値) 」となります。
計算により、(2) ⇔「 -2√2＜a＜2√2 」となります。

お便り２００２／８／１
from=phaos

1. つまりどのような x の値に対しても
g(x) - f(x) > 0
となれば良いのです。

g(x) - f(x)
= x^2 - (a - 2)x + 3 + x^2 - ax - a + 2
= 2x^2 -(2a - 2)x - a + 5
= 2x^2 - 2(a - 1)x - a + 5
ここで, g(x) - f(x) = 0 と置いて, その判別式を D と置くと
g(x) - f(x) > 0 ⇔ D ＜ 0
(グラフを描いてご覧なさい) ですから
D = 4(a - 1)^2 - 8(-a + 5)
= 4((a - 1)^2 - 2(-a + 5))
= 4(a^2 - 2a + 1 + 2a - 10)
= 4(a^2 - 9)
= 4(a - 3)(a + 3) ＜ 0
従って
 -3 ＜ a ＜ 3.

2.
f(x) = -x^2 + ax + a - 2
= -(x^2 - ax) + a - 2
= -((x - a/2)^2 - a^2/4) + a - 2
= -(x - a/2)^2 + a^2/4 + a - 2.
又
g(x) = x^2 - (a - 2)x + 3
= (x - (a - 2)/2)^2 - (a - 2)^2/4 + 3
ですから, どのような x_1, x_2 に対しても
f(x_1) ≦ f(a/2) & g((a - 2)/2) ≦ g(x_2)
が成立します。
従って f(a/2) ＜ g((a - 2)/2) となるようにすれば良い。
ということは
g((a - 2)/2) - f(a/2) > 0
ということですから即ち
- (a - 2)^2/ 4 + 3 - (a^2/4 + a - 2) > 0
- (a - 2)^2 + 12 - (a^2 + 4a - 8) > 0
(a^2 - 4a + 4) - 12 + (a^2 + 4a - 8) ＜ 0
a^2 - 4a + 4 - 12 +  a^2 + 4a - 8 ＜ 0
2a^2 -16 ＜ 0
a^2 - 8 ＜ 0
つまり -2√2 ＜ a ＜ 2√2.