質問＜８５２＞２００２／５／３０
from=ゆっこ
「数列の問題」

★数列{An}に対してSn=∑(k=1),n,(k+1)Akとおくと、すべての　
自然数nに対して、Sn=(n+1)(n+2)(n+3) が成り立つものとする。
　　　n≧2に対するAnをnの式で表し、∑(k=1),n,Akをもとめよ。

Anは分かったのですが、∑(k=1),n,Akが分かりません。お願いします。

お便り２００２／６／８
from=ｄ３

S[n]＝∑(k＝1→n）,(k＋1)A[k]・・・＃で，
n＝1として，
S[1]＝(1＋1)A[1]＝2A[1]で，一方，
S[n]＝(n＋1)(n＋2)(n＋3)・・・＄から，S[1]＝24で，
A[1]＝12．
n≧2で，＃から，
S[n]－S[n－1]＝∑(k＝1→n）,(k＋1)A[k]－∑(k＝1→n－1）,(k＋1)A[k]
S[n]－S[n－1]＝(n＋1)A[n]
この左辺は，＄から，
S[n]－S[n－1]＝(n＋1)(n＋2)(n＋3)－n(n＋1)(n＋2)
S[n]－S[n－1]＝3(n＋1)(n＋2)
よって，A[n]＝3(n＋2)
｛A[1]＝12
｛A[n]＝3(n＋2)（n≧2）
T[n]＝∑(k＝1→n),A[k]とおくと，
T[1]＝A[1]＝12，n≧2で，
T[n]＝∑(k＝1→n),A[k]＝A[1]＋∑(k＝2→n),A[k]，
T[n]＝12＋3∑(k＝2→n),(k＋2)
T[n]＝3(n^2＋5n＋2)/2　（n＝1のときも含まれる）．