質問

お久しぶりです。
今、春休みの宿題と格闘中です。
この問題をお願いします。

問１）
実数係数の方程式ｘ＾3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０・・・①　がｘ＝２を
解に持つとする。
①の解を２、α、βとし、複素数平面において３点２、α、βが正方形
の異なる三つの頂点になっているとする。
さらに、この正方形の一辺の長さが5√2で、α、βの実部が負である。
α、βを求めよ。
また、このときのａ、ｂ、ｃを求めよ。

あと、この４月で高３になります。数Ⅲ・Ｃを選択しています。
ついていけるかかなり不安なんですが、受験でどうしても必要なので
頑張ろうと思います。（ちなみに薬志望なんですが・・・）
何かアドバイスをお願いします。

たてつづけにすみません。
次の問題が、途中まで解けたんですが一番最後がわかりません。
よろしくお願いします。

問２）
複素数平面上で４＋８ｉ，－４－４ｉ，８－８ｉを表す３点をそれぞれ
Ａ，Ｂ，Ｃとする。
線分ＢＣを３：１に内分する点をＤ，線分ＡＣを３：１に内分する点をＥ，
線分ＡＢを１：３に内分する点をＦとする。
線分ＥＣをＥを中心として９０°回転し、さらに長さをｘ倍した線分を
ＥＰとすれば、Ｐを表す複素数を求めよ。
（これは解けました。４ｘ＋７＋(ｘ－４)ｉ　です）
また、線分ＦＡをＦを中心として９０°回転し、さらに長さをｙ倍した
線分をＦＱとすれば、Ｑを表す複素数を求めよ。
（これも解けました。２－３ｙ＋(５＋２ｙ)ｉ　です。）

そこで、線分ＤＰと線分ＤＱのなす角が９０°であるとき、
ｘｙを求めよ。

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この最後のｘｙを求めるのがわかりません。
よろしくお願いします。

お返事２００２／３／２７
from=武田

問１

α＝ｘ＋ｙｉ、β＝ｘ－ｙｉ　ただし、ｘ＜０

図の黄色い部分は正方形の半分だから、

｜α－２｜＝｜β－２｜＝５√２

α－２＝（ｘ－２）＋ｙｉ　より、

 ………①

また、なす角は９０°より、

したがって、

β－２＝ｉ（α－２）

ｘ－２－ｙｉ＝ｉ（ｘ－２＋ｙｉ）

（ｘ＋ｙ－２）－（ｘ＋ｙ－２）ｉ＝０

ｘ＋ｙ－２＝０………②

①②を連立して、

ｙ＝２－ｘ

ｘ－２＝±５

∴ｘ＝７，－３

ｘ＜０より、ｘ＝－３

したがって、ｙ＝２－（－３）＝５

α＝－３＋５ｉ，β＝－３－５ｉ………（答）

（ｘ－２）（ｘ＋３－５ｉ）（ｘ＋３＋５ｉ）＝０より、

したがって、ａ＝４，ｂ＝２２，ｃ＝－６８………（答）

問２

Ａ（４＋８ｉ）、Ｂ（－４－４ｉ）、Ｃ（８－８ｉ）

ＥはＡＣを３：１に内分するから、

ＥＣ＝（８－８ｉ）－（７－４ｉ）＝１－４ｉ

９０°回転はｉをかけることだから、

ｉ・ＥＣ＝ｉ（１－４ｉ）＝４＋ｉ

ＥＰ＝ｘ（４＋ｉ）＝４ｘ＋ｘｉ

ＰはＥにＥＰを加えたものだから、（７－４ｉ）＋（４ｘ＋ｘｉ）＝（４ｘ＋７）＋（ｘ－４）ｉ

同様にして、

Ｆ（２＋５ｉ）、ＦＡ＝２＋３ｉ、ｉ・ＦＡ＝－３＋２ｉ

Ｑは、（２－３ｙ）＋（５＋２ｙ）ｉ

Ｄ（５－７ｉ）より、

ＤＰ＝｛（４ｘ＋７）＋（ｘ－４）ｉ｝－（５－７ｉ）＝（４ｘ＋２）＋（ｘ＋３）ｉ

ＤＱ＝｛（２－３ｙ）＋（５＋２ｙ）ｉ｝－（５－７ｉ）＝（－３－３ｙ）＋（１２＋２ｙ）ｉ

（－３－３ｙ）＋（１２＋２ｙ）ｉ＝ｉ｛（４ｘ＋２）＋（ｘ＋３）ｉ｝

（ｘ－３ｙ）＋（２ｙ－４ｘ＋１０）ｉ＝０

連立して、

ｘ－３ｙ＝０

２ｙ－４ｘ＋１０＝０

２ｙ－４（３ｙ）＋１０＝０

∴ｙ＝１

∴ｘ＝３

したがって、ｘｙ＝３×１＝３………（答）

お便り２００２／３／２８
from=元3年10組12番
質問＜８０９＞の１について

今年浪人が決まりました。後期は受かったんですけど、
あまり行きたくないので、辞退届を書いて出しました。うちは1浪まで
許してもらえるので、もう1年間よろしくお願いします。これは、僕が
考えた解答ですけど、どうでしょうか？いつもは質問をしてたけど、
今回は答えたいと思います。間違ってたらご指摘をよろしくお願いします。

ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０・・・①
の解がｘ＝２だから、①にｘ＝２を代入して、
８＋４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０
よって、ｃ＝－４ａ－２ｂ－８・・・②
次に、ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ－４ａ－２ｂ－８
を　ｘ－２で割ると
ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝（ｘ－２）{ｘ^2＋(ａ＋２）ｘ＋２ａ＋ｂ＋４}

さらに、①の解２、α、βが複素数平面において正方形の異なる三つの
頂点になっていて、共役な複素数α、βの実部が負であることにより、
３点２、Ａ(α)、Ｂ(β)は下図のような位置にある。



α＝ｘ＋ｙｉ（ｘ＜０、ｙ＞０）
とおくと、上図より
　２－ｘ＝５√２ｃｏｓ４５°＝５
　ｙ＝５√２ｓｉｎ４５°＝５
よって、ｘ＝－３、ｙ＝５
したがって、α、βは、－３±５ｉ
このとき、α＋β＝－６、αβ＝３４・・・③
一方で、α、βは２次方程式
ｘ^2＋(ａ＋２）ｘ＋２ａ＋ｂ＋４＝０
の解なので、解と係数の関係より、
α＋β＝－(ａ＋２）、αβ＝２ａ＋ｂ＋４・・・④
③、④より、－(ａ＋２）＝－６
　　　　　　２ａ＋ｂ＋４＝３４
これと②より、
　　ａ＝４、ｂ＝２２、ｃ＝－６８・・・（答）

多分、これといいと思います。計算間違いはないはず。
やってみてください。