質問

実数ｔ＞１に対し、ｘｙ平面上の点
　　
　　Ｏ(０、０)　Ｐ(１、１)　Ｑ(ｔ、1/ｔ）
を頂点とする三角形の面積をａ(t)とし、線分ＯＰ、ＯＱと双曲線ｘｙ＝１
とで囲まれた部分の面積をｂ(t)とする。
このとき　
　　　
　　　　　ｃ(t)＝ｂ(t)／ａ(t)

とおくと、関数ｃ(t)はｔ＞１においてつねに減少することを示せ。

という問題です。宜しくお願いします。

お返事２００２／２／６
from=武田

未解決問題に移しました。
誰かアドバイスをください。
CharlieBrownさんからアドバイスが届きました。感謝！！

お返事２００２／２／１２
from=CharlieBrown

計算を省略して、要点だけ記します。
        t^2-1
a(t) = -------
          2t
         t  dx
b(t) = ∫  ---- = logt
         1  x
となるので、問題は、
        b(t)     2tlogt
c(t) = ------ = --------
        a(t)      t^2-1

が、t>1で減少すること、
つまり、微分c'(t)がt>1で常に負であることを示せばよいわけです。

         -2(t^2+1)logt-2t^2+2
c'(t) = -----------------------
               (t^2-1)^2

ですから、この式がt>1で負になるかどうかを考察します。
分母は常に正ですから、分子の正負がそのままc'(t)の正負と一致します。
そこで、分子を改めてd(t)とおき、その正負を調べます。

d(t) = -2(t^2+1)logt-2t^2+2
を微分した
                       2
d'(t) = -4tlogt -6t - ---
                       t

は明らかにt>1で負であるから
d(t)はt>1で減少関数で、d(1) = 0なので、
確かに関数d(t)はt>1で常に負です。

よって関数c(t)はt>1でtの減少関数であることが示されました。