質問＜７４８＞２００１／１２／２３
from=とむ
「行列の積への分解」

大学範囲の問題で申し訳ないのですが、
rank A≦l ⇔ n×l行列B，l×m行列CでA＝BCとなるものが存在する。

⇒の方がどうしてもわかりません。
解説には、さも当然であるかのように書いてあった
のですが本当にそのようにB,Cをとれるのでしょうか？

お便り２００２／９／３
from=juin

Aを(n,m)行列とする。rank(A)<=1とする。
(1)rank(A)=0ならばA=0,B=0,C=0
(2)rank(A)=1のとき。
言い換えると、Aのm個の列ベクトルの中で１次独立なものは１つである。
同じことであるがAのn個の行ベクトルの中で１次独立なものは１つである。
A=(a1,a2,...,am)とする。a1,...amは列ベクトルである。
１次独立なものは１つだから、適当に選べば、
１つのベクトルのスカラー倍で他のベクトルが表せる。
例えば、m個のスカラー,y1=1,y2,y3,...,ymを使い、
a1=1*a1,a2=y2*a1,...,am=ym*a1のように
すべてa1のスカラー倍で表せる。
この時(n,1)行列B=a1,(1,m)行列C=(y1,y2,...,ym)(本当は縦に書くべき）
とすれば、A=BCとなる。